Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При определении линии пересечения поверхностей пользуются не отдельными плоскостями, а пучками плоскостей, причем ось пучка может быть как собственной, так несобственной прямой.

Рассмотрим каждый из этих вариантов в отдельности.

1. Определение линии пересечения поверхностей с помощью пучка плоскостей, ось которого - собственная прямая.

Этот способ применяется для построения линии пересечения:

а) двух конических поверхностей;

б) конической и цилиндрической поверхностей;

в) конической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы;

г) двух цилиндрических поверхностей;

д) цилиндрической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы.

Сущность способа легко проследить на примере решения задачи по определению линии пересечения двух произвольных конических поверхностей α и β (рис. 218).

Раньше (см. § 45, рис. 198,в) было установлено, что коническая поверхность пересекается плоскостью по двум пересекающимся прямым образующим в том случае, если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности. Поэтому, если через вершины S₁ и S₂ конических поверхностей α и β провести прямую а и заключить ее в плоскость γ_j, то эта плоскость пересечет поверхность α по прямым (S, 1), (Sj 2) и поверхность β по прямым (S2 3), (S2 4). Эти прямые пересекаются в точках А, В, С, D, принадлежащих искомой линии пересечения.

Повернув вокруг прямой а плоскость γ_j на ∠φ° получим новое положение секущей плоскости γ₁. Плоскость γ₁ также пересечет поверхности α и β по прямым, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, также принадлежащих линии пересечения. Поворачивая плоскость γ_j вокруг прямой а , мы будем получать различные положения секущих плоскостей и соответствующие им прямые линии их пересечения с заданными поверхностями*.

При построении проекций линий пересечения поверхностей на эпюре в первую очередь необходимо определить опорные точки, которые получаются при сечении поверхностей α и β плоскостями, касательными к одной, в частном случае к двум, пересекающимся поверхностям.

На рис. 218 показаны плоскость γ₂, проходящая через прямую а и касательная к поверхности α, и плоскость γ₃, также проходящая через прямую а и касательная к поверхности β.

Горизонтальные следы этих плоскостей h_0γ2 и h_0γ3 определяют ∠h_0γ2Hah_0γ3, в пределах которого следует проводить горизонтальные следы вспомогательных секущих плоскостей. С помощью плоскостей γ_j и γ₁ можно определить четыре точки, принадлежащие линии пересечения. На рис. 218 показаны две точки Е и F, полученные с помощью плоскости γ_j .

На рис. 219 приведен пример определения положения прямой а , через которую должны проходить вспомогательные секущие плоскости, с помощью которых можно найти точки, принадлежащие линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей.

Решение этой задачи по существу не отличается от только что рассмотренного примера. Действительно, цилиндрическая поверхность отличается от конической тем, что точка S (вершина конической поверхности) у цилиндрической поверхности оказывается несобственной точкой S_∞. В этом случае прямая а , проходящая через точки S и S_∞,

* Поэтому описываемый способ называют также способом вращающейся плоскости.

будет параллельна образующей цилиндрической поверхности. Все остальные построения ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущем примере (см. рис. 218).

В качестве примера использования пучка плоскостей для определения линии пересечения двух поверхностей по заданным их ортогональным проекциям рассмотрим следующую задачу.

ПРИМЕР. Построить линию пересечения двух конических поверхностей α и β (рис. 220).

РЕШЕНИЕ.

1. Через вершины конических поверхностей S₁ и S₂ проводим прямую а .

2. Определяем горизонтальный след прямой а - Н_a.

3. Заключаем прямую а во вспомогательную секущую плоскость γ₁, касательную к конической поверхности α. Отмечаем прямые (S₂2), (S₂ 3) и (S₁ l), по которым эта плоскость пересекает поверхность β, и касается поверхности α.

4. Отмечаем точки М₁ и М₂, принадлежащие искомой линии пересечения

M₁ = (S₁ 1) ∩ (S₂ 2) и М₂ = (S₁ 1) ∩ (S₂ 3).

Через прямую а проводим плоскость γ₂, касательную к конической поверхности β. Находим прямые (S₁ 4), (S₁ 5) и (S₂ 6) и отмечаем точки L₁ и L₂ их взаимного пересечения.

На рис. 220 показано также определение точек K₁, К₂ и N₁, N₂ с помощью вспомогательной секущей плоскости γ_j. Соединив в определенной последовательности плавными линиями одноименные проекции точек, получим проекции искомой кривой пересечения данных поверхностей.

2. Определение линии пересечения поверхностей с помощью пучка плоскостей, ось которого - несобственная прямая.

Этот способ является частным случаем предыдущего. Отличие состоит лишь в том, что прямая а - несобственная, она проходит через несобственные точки S_1∞ и S_2∞ .

Рис. 221 иллюстрирует наглядную геометрическую модель рассматриваемого способа. Чтобы выбрать наиболее рациональное положение вспомогательной секущей плоскости для определения линии пересечения двух произвольно расположенных цилиндрических поверхностей, достаточно представить заданные цилиндрические поверхности как образованные из конических поверхностей с вершинами в несобственных точках

S_1∞ и S_2∞ . Поэтому семейство секущих плоскостей будет составлять пучок параллельных плоскостей, проходящих через несобственную прямую a_∞(S_1∞ S_2∞ ). Для определения направления горизонтальных следов плоскостей этого пучка достаточно из произвольной точки пространства Т провести две прямые: s₁ , параллельную образующей илиндрической поверхности α, и s₂, параллельную образующей цилиндрической поверхности β. Эти пересекающиеся прямые определят направление вспомогательных секущих плоскостей γ, которые пересекают поверхности α и β по прямым линиям.

Проведя плоскость γ_j, параллельную γ, мы получим две прямые, по которым плоскость γ_j пересекает поверхность α, и две прямые при ее пересечении с поверхностью β. Взаимное пересечение этих прямых укажет четыре точки А, В и С, D, принадлежащие линии пересечения.

Для нахождения опорных точек, как и в предыдущем примере, проводим плоскости γ₁ и γ₂ соответственно касательные к поверхностям α и β. С помощью этих плоскостей находим точки М₁, М₂ и N₁, N₂. Положение горизонтальных следов h_0γ1 h_0γ2 определяют область (полосу), внутри которой следует проводить вспомогательные секущие плоскости для определения общих точек, принадлежащих линии пересечения.

Использование семейства вспомогательных секущих плоскостей, взятых из пучка плоскостей с несобственной осью, для определения на эпюре Монжа линии пересечения двух поверхностей проследим на следующем примере.

ПРИМЕР. Определить линию пересечения двух произвольно расположенных эллиптических цилиндрических поверхностей α и β (рис. 222).

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем направление вспомогательных секущих плоскостей. Для этого через произвольную точку пространства Т проводим прямые s₁ и s₂, параллельные образующим данных цилиндрических поверхностей α и β. Горизонтальные следы этих прямых H_s1 H_s2 определяют след вспомогательной секущей плоскости γ.

2. Проводим секущую плоскость γ₁, параллельную плоскости γ и касательную к поверхности β. Эта плоскость пересечет цилиндрическую поверхность а по прямым (S_1∞ 1), (S_1∞ 2) и будет касаться поверхности β по прямой (S_2∞3). Взаимное пересечение этих прямых укажет точки М₁ и М₂ , принадлежащие искомой линии пересечения.

3. Проводим плоскость γ₂, параллельную плоскости γ и касательную к поверхности α. Мы вновь получим две прямые (S_2∞ 5) и (S_2∞ 6), по которым плоскость γ₂ пересекает поверхность β. Плоскость γ₂ пересечет (коснется) поверхность α по прямой (S_1∞ 4). Полученные прямые пересекаются в точках N₁ и N₂.

На рис. 222 показано также построение точек К₁, К₂ и L₁, L₂ С помощью вспомогательной секущей плоскости γ_j и точек А₁, А₂, В₁, В₂ и С₁, С₂, D₁, D₂, найденных при помощи плоскостей и γ₃ и γ₄.

Способ параллельных секущих плоскостей можно использовать для определения линии пересечения и в том случае, когда эти плоскости пересекают заданные поверхности не только по прямым, но и по окружностям или комбинации из этих линий (одну поверхность плоскость пересекает по прямой, другую - по окружности) *

Примером может служить пересечение сферической и цилиндрической поверхностей.

ПРИМЕР. Определить линию пересечения поверхности эллиптического цилиндра α с поверхностью сферы β (рис. 223).

РЕШЕНИЕ.

1. Проводим в интервале между точками 1' и 2' вспомогательные секущие

* Плоскость можно использовать и в том случае, когда она пересекает поверхности по произвольным кривым линиям.

плоскости γ₁, γ₂, γ₃, γ₄, γ₅ параллельные фронтальной плоскости проекции π₂ . Каждая из этих плоскостей пересечет цилиндрическую поверхность по прямолинейным образующим, а поверхность сферы по окружностям.

2. Плоскости γ₁ и γ₂ параллельные π₂ и касательные к цилиндрической поверхности, укажут прямые а и b, которые будут содержать опорные точки А, А₁ и В, В₁ - дальние А, А₁ ( и ближние В, В₁ по отношению к плоскости π₂ точки кривой пересечения.

3. Для определения высшей M₁ и низшей N точек линии пересечения проводим плоскость γ₄, проходящую через центр поверхности сферы. Эта плоскость пересечет сферу по главному меридиану.

4. С помощью плоскости γ₃ , проведенной через ось цилиндрической поверхности, определяем точки Е, Е₁ и F, F₁ , указывающие границы видимости линии пересечения на фронтальной проекции.

На рис. 223 показано построение про извольных точек, принадлежащих линии пересечения, с помощью плоскости γ₂. проведенной в полосе, ограниченной плоскостями γ₁ и γ₅.