Определение угла между плоскостями

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми - сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Для построения линейного угла, являющегося мерой двугранного угла, необходимо выполнить следующие геометрические построения:

1. Определить прямую а - линию пересечения данных плоскостей α и β, а = α ∩ β (рис. 284).

2. Провести плоскость γ (γ ⊥ α и γ ⊥ β).

3. Построить прямые m = γ ∩ α и n = γ ∩ β.

4. Найти величину угла между прямыми m и n. Угол - искомый.

Рассмотренный план решения задачи предусматривает выполнение большого числа геометрических построений, связанных с нахождением линии пересечения данных плоскостей (а = α ∩ β), проведением плоскости, перпендикулярной к найденной прямой (γ ⊥ а ). Далее приходится еще дважды решать задачу по определению линии пересечения плоскостей (m = γ ∩ α и n = γ ⊥ β) и лишь только после этого можно приступить к определению величины искомого угла .

Проследим, как можно упростить решение этой задачи. Дополним чертеж на рис. 284 точкой К ∈ γ и опустим из этой точки перпендикуляры k и l на плоскости α и β (рис. 285). Точки М и N пересечения

этих перпендикуляров с плоскостями совместно с точками К и А (А ∈ а ) являются вершинами плоского четырехугольника KNAM, у которого углы при вершинах М и N прямые. Следовательно, между углами при вершинах А и К существует зависимость, которую можно выразить следующим равенством: = 180° - ψ°. Из рис. 285 видно, что вместо ∠ψ° гораздо проще определять дополнительный до 180° ∠ψ°. Все решение сводится к построению угла ψ° путем проведения из произвольной точки пространства К прямых k и l, перпендикулярных к заданным плоскостям, и определению угла ψ° между этими прямыми; после чего подсчитывается значение величины = 180° - (рис. 286).

ПРИМЕР 1. Определить угол между плоскостями α(а || b) и β(с ∩ d) (рис. 287).

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем направление горизонтальных проекций горизонталей h'₁ и h'₂, фронтальных проекций фронталей f"₁ и f"₂ заданных плоскостей α и β.

2. Из произвольной точки К проводим проекции перпендикуляров k и l (k' ⊥ h'₁, k" ⊥ f"₁ и l' ⊥ h'₂, l" ⊥ f"₂).

3. Определяем величину .

4. Вычисляем значение = 180° - .

Если плоскости, угол между которыми требуется определить, задан следами, то решение упрощается еще больше, так как отпадает необходимость в выполнении п.1 только что рассмотренного решения.

ПРИМЕР 2. Определить угол между плоскостями α и β, заданными следами (рис. 288)

РЕШЕНИЕ. Все геометрические построения сводятся к проведению через точку К прямых, перпендикулярных к следам плоскостей α и β (k' ⊥ h_0α, k" ⊥ f_0α и l' ⊥ h_0β, l" ⊥ f_0β). Затем известным способомнаходим величину (на рис. 288 угол определен путем вращения вокруг фронтали). Зная , вычисляем значение .