тур на 2 дня на двоих . Тут железнодорожные билеты москва адлер На Борту.

Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией

Для построения фигуры, получаемой при пересечении призмы и пирамиды плоскостью, надо или найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость, или найти отрезки прямых, по которым грани призмы или пирамиды пересекаются плоскостью. В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью, во втором случае — на пересечение плоскостей между собой.

В тех случаях, когда секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, фигура сечения проецируется с искажением. Поэтому, если требуется определить натуральный вид фигуры сечения '), то следует применять один из способов, которые позволяют находить длину отрезка, величину угла и т. д. (см. главу V).

На рис. 273 показано пересечение прямой четырехугольной призмы плоскостью, заданной пересекающимися прямыми EF и EG. Обозначим эту плоскость буквой 5.

При пересечении получается четырехугольник, вершины которого представляют собой точки пересечения ребер призмы с пл. 5.,Так как в данном случае призма прямая и основание ее параллельно пл. ки то горизонтальная проекция фигуры сечения определяется сразу, без какого-либо построения: она накладывается на проекцию A'B'C'D'. Очевидно, можно найти точки К и L, в которых ребра призмы, проходящие через точки А и D, пересекают пл. 5, при помощи одной пл. а, в кото

') Выражение «натуральный вид сечения» мы будем применять в том случае, когда фигура сечения дается без искажения.

рой находится грань призмы а х 5 = = 1—2, откуда получаем точки К" и L". Проведя" пл. Р, получим Р х 5 = 3 — 4 и точки М' и ЛГ.

Итак, способ построения, который указан на рис. 273, сводится к применению вспомогательных плоскостей а и Р, проходящих через соответствующие грани призмы, и построению отрезков KL и MN, по которым эти грани пересекаются пл. 5.

На фронтальной проекции линия пересечения состоит из видимой и невидимой частей; видимая часть линии пересечения расположена на обращенных к зрителю видимых гранях.

На рис. 273 находящаяся под пл. 5 нижняя часть призмы представлена как невидимая. Линия пересечения лишь прочерчена на гранях призмы.

Если секущая плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций (рис. 274, слева), то проекции фигуры сечения получаются без каких-либо дополнительных проекция K"P"M"N" располагается на следе Р", K'P'N'M' совпадает с проекцией призмы.

На рис. 274 справа показано пересечение призмы пл. а, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВМ2, из которых ВМ2 параллельна ребрам призмы. Следовательно, секущая плоскость в данном случае общего положения, параллельная

построений: фронтальная горизонтальная проекция

Рис. 274

Рис. 274

ребрам призмы. Она пересекает призмы по параллелограмму 1—2 — 3 — 4, стороны 1 — 2 и 3 — 4 которого параллельны ребрам призмы. Чтобы провести эти стороны, надо построить след пл. а на плоскости основания призмы и пересечь им это основание по прямой 1—4.

На рис. 275 показано пересечение пирамиды плоскостью общего положения а, выраженной следами. Дело сводится к нахождению точек пересечения ребер SA, SB и SC с пл. а, т. е. к задаче на пересечение прямой с плоскостью (см. § 25). Рассмотрим нахождение точки L, в которой ребро SB пересекает пл. а. Выполняем следующие действия: 1) через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально-проецирующую Р; 2) находим прямую пересечения 1—2 плоскостей а и Р; 3) находим точку L в пересечении прямых SB и 1 — 2.

Далее, так как в данном случае ребро 5/1 расположено параллельно пл. я2, проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость 5. Она пересекает пл. а

по ее фронтали с начальной точкой 3; в пересечении этой фронтали с ребром 5/1 получаем точку К.

Теперь обратим внимание на другую особенность в данном примере: проекция А'С' параллельна следу /i(J,. Это тот случай, когда у двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельны (/i,J, || А'С', но А'С — часть горизонтального следа плоскости грани 5ЛС) и линия пересечения таких плоскостей является их общей горизонталью. Поэтому мы мо?кем провести через уже найденную точку К прямую, параллельную ребру АС (или || h^J, и так найти точку М.

Если бы не было этих особенностей, то следовало бы поступать аналогично построению точки L.

Чертеж на рис. 275 выполнен согласно условию, что пл. а прозрачна и что основным является нанесение на гранях линий разделения пирамиды на две части.

Пусть (рис. 276) пирамида рассечена пл. а, заданной пересекающимися прямыми АВ и SB, причем SB проходит через вершину пирамиды. Следовательно, пл. а рассекает ее по треугольнику, одна из вершин которого находится в точке 5. Чтобы найти две другие вершины треугольника — точки 1 и 2, надо построить след пл. а на плоскости основания пирамиды. Остальное ясно из чертежа.

При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получаются две точки. Для них встречается название точки входа и выхода. Чтобы найти эти точки, надо провести через данную прямую вспомогательную плоскость и найти линии ее пересечения с гранями; эти линии на гранях оказываются расположенны

х

Рис. 275

Рис. 275

Рис. 276

ми в одной плоскости с данной прямой и в своем пересечении дают точки, в которых данная прямая пересекает поверхность.

Могут быть случаи, когда нет надобности в таких построениях. Пример дан на рис. 277; положение проекций К' и М' очевидно, так как боковые грани призмы перпендикулярны к пл. я!. По точкам К' и М' найдены точки К" и М".

На рис. 278 показано построение точек пересечения прямой линии с поверхностью пирамиды. Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально-проецирующая пл. а. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с фронтальной проекцией плоскости; горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции прямой АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по найденным горизонтальным проекциям (точки К' и М') построены фронтальные проекции (К" и М") точек пересечения.

Рис. 277

Рис. 277

Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью призмы можно представить себе еще следующим образом. Положим, что мы вместо прямоугольного проецирования применим косоугольное1). Спроецируем призму и прямую АВ (рис. 279) на пл. я1 по направлению, параллельному ребрам данной приз-

Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью призмы можно представить себе еще следующим образом. Положим, что мы вместо прямоугольного проецирования применим косоугольное1). Спроецируем призму и прямую АВ (рис. 279) на пл. я1 по направлению, параллельному ребрам данной приз-

проекцией нижнего основания призмы, а прямая АВ — в прямую AVBV, которая пересечет стороны треугольника C^D^E^ в точках 2 и 3. Обратным проецированием мы получим проекции К', и К'2, а по ним К" и К2.

См. с. 12.

Итак, мы рассмотрели пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией. Построения сводятся к решению задач на пересечение плоскостей и прямой с плоскостью, изложенных в §§ 24 — 26. Эти задачи имеют существенное значение и встречаются в различных случаях. Они же лежат в основе построения линий взаимного пересечения многогранных поверхностей, рассматриваемого в следующем параграфе.