Проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям

При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности.

Возьмем небольшую часть поверхности и точку на ней. Если через эту точку проведены на поверхности кривые и касательные к ним прямые, то последние оказываются в одной плоскости ¹). Эту плоскость называют касательной к поверхности в данной ее точке.

Точка поверхности, в которой может быть, и притом только одна, касательная плоскость, называется обыкновенной (или правильной). Обыкновенным точкам противопоставляются особые, например: вершина конической поверхности, вершина поверхности вращения, точка на ребре возврата.

Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми; поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость.

Перпендикуляр к касательной плоскости в обыкновенной точке поверхности служит нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности — сечение плоскостью, проходящей через нормаль.

На рис. 350 построена плоскость, касательная к вытянутому эллипсоиду вращения в его точке К. Через эту точку проведена параллель поверхности и к ней касательная KF: проекция K"F" совпадает с фронтальной проекцией параллели, а горизонтальная проекция K'F' является касательной к окружности — горизонтальной

¹) Рассматривается в дифференциальной геометрии. В ней геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления.

проекции параллели. В качестве второй кривой, проходящей через точку К, взят меридиан, на рис. 350 не изображенный: можно воспользоваться уже начерченным главным меридианом — очерком фронтальной проекции эллипсоида. Надо представить себе, что эллипсоид повернут вокруг своей оси АВ так, чтобы меридиан, проходящий через заданную точку К, занял положение главного меридиана АKВ. При этом точка К займет положение К. Проводя в точке K" касательную к эллипсу, получаем фронтальную проекцию второй касательной к эллипсоиду в точке K. Теперь нужно эту касательную повернуть так, чтобы точка K' заняла исходное положение K'. Точка S, лежащая на касательной и на оси эллипсоида, остается неподвижной, и касательная к меридиану в точке К выразится проекциями S'K' и S"К". Прямые KF и SK определяют искомую плоскость.

Очевидно, такое построение применимо и к сфере. Но здесь можно поступить проще, исходя из того, что плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя (рис. 351) радиус OA, строим плоскость, задавая ее горизонталью АВ и фронталью АС, перпендикулярной к OA. Эти прямые определяют плоскость, касательную к сфере в ее точке А.

В рассмотренных примерах (рис. 350 и 351) касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку. Если представить себе проходящие через эту точку кривые на поверхности, то эти кривые в окрестности точки касания располагаются по одну сторону от касательной плоскости. То же мы могли бы видеть на параболоиде вращения, на торе, образованном дугой (меньше полуокружности), вращающейся вокруг ее хорды, и др. Такие точки на поверхности называются эллиптическими. Если у поверхности все точки эллиптические, то эта поверхность выпуклая, например эллипсоид, показанный на рис. 350.

На рис. 352 показано проведение плоскости, касательной к цилиндру. Слева на рис. 352 плоскость проведена через заданную точку С на цилиндрической поверхности, справа — через точку К вне цилиндра.

Здесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех точках на образующей. Такие точки поверхности называются параболическими. К поверхностям с параболическими точками относятся цилиндрические, конические, поверхности с ребром возврата.

Построение на рис. 352 слева заключается в следующем. Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку С можно провести образующую АВ, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную BF к окружности — горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые АВ и BF определяют искомую касательную плоскость. Прямая BF является горизонтальным следом этой плоскости.

На рис. 352 справа точка К задана вне цилиндрической поверхности. Касательная плоскость должна содержать в себе образующую поверхности; значит, эта плоскость вообще параллельна направлению образующей. Поэтому прямая

КМ, параллельная образующей, принадлежит касательной плоскости. В качестве второй прямой, определяющей в пересечении с КМ плоскость, касательную к цилиндрической поверхности, на рис. 352 справа показана MQ — горизонтальный след искомой плоскости. Эта плоскость касается поверхности по образующей DE.

Второе решение: через точку М проведена прямая MN — горизонтальный след второй касательной плоскости (касание по образующей АВ).

На рис. 353 показано построение плоскости, касательной к конической поверхности в, ее точке А. Поверхность задана вершиной S и направляющей — эллипсом, лежащим на пл. π₁

Образующая SM, на которой расположена точка А, является линией касания плоскости к конической поверхности. Помимо этой образующей, касательную плоскость определяет еще прямая MN на пл. π₁ касательная к эллипсу.

Если точка-, через которую надо провести плоскость, касательную к данной конической поверхности, находится вне этой поверхности, то для построения касательной плоскости надо провести прямую через вершину S и заданную точку, найти горизонтальный след этой прямой и провести через него касательные к эллипсу (подобно тому, как было показано на рис. 352 справа, где касательные проводились к окружности — следу цилиндрической поверхности на пл. π₁) Получаются две плоскости, касательные к конической поверхности.

В примерах на рис. 350 — 353 касательные плоскости не пересекают поверхностей. Но если это характерно для выпуклых поверхностей, то вообще плоскость, касательная к поверхности в некоторой ее точке, может пересекать эту поверхность. Так, плоскость, касательная к поверхности гиперболического параболоида (см. рис. 321) в точке О, содержит касательные Ох и Оу к параболам ВОВ₁ и AOA₁ и рассекает поверхность на две части, имея с ней бесконечное множество общих точек.

При пересечении поверхности плоскостью, касательной к этой поверхности в какой-либо ее точке, могут получиться две прямые с пересечением в этой точке, прямая и кривая, две кривые. Например, однополостный гиперболоид вращения, т. е. линейчатая поверхность с двумя прямыми образующими, может быть пересечен по двум пересекающимся прямым линиям. То же мы видим в отношении гиперболического параболоида (рис. 321).

Примером пересечения по прямой и кривой могут служить случаи пересечения линейчатой неразвертываемой поверхности, например пересечение поверхностей с плоскостью параллелизма, винтовых поверхностей с прямолинейной образующей (кроме разверзаемого геликоида).

Точки поверхности, в которых касательная плоскость рассекает поверхность, называются гиперболическими. Такие точки присущи в числе других (см. выше) вогнутым поверхностям вращения (пример такой поверхности см. на рис. 330).

Если точки поверхности в какой-либо ее части гиперболические, то форма поверхности в этой части седлообразная (например, у гиперболического параболоида — рис. 321, 322).

Если сравнить между собой поверхности линейчатые, развертываемые и неразверты-ваемые, то,для развертываемых касательные плоскости в различных точках образующей линии имеют одно и то же направление (например, у конической поверхности вращения), а для неразвертываемых касательные плоскости в разных точках образующей направлены не одинаково (например, у однополостного гиперболоида вращения).