Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной осью

На рис. 354 изображен прямой круговой конус, ось которого параллельна пл. π₂ и наклонена к пл. π₁ Очерк его фронтальной проекции задан: это равнобедренный треугольник S"D"E". Требуется построить очерк горизонтальной проекции.

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. π₁ при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса.

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям: малой D'E' и большой, равной по своей величине D"E" (диаметру окружности основания конуса). Прямые S'B' и S'F' получатся, если провести из точки S' касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на π₁ плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S' к окружности — проекции экватора сферы — и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки А" — фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка А" получается при пересечении фронтальных проекций: 1) окружности касания конуса и сферы (прямая M"N") и 2) экватора сферы (прямая К"L"). Теперь можно найти проекцию А' на горизонтальной проекции экватора и через точки S' и А' провести прямую — горизонтальную проекцию искомой образующей. На этой прямой определяется и точка В, горизонтальная проекция которой (точка В') есть точка касания прямой с эллипсом.

С построением очерков проекций конуса вращения мы встречаемся, например, в таком случае: даны проекции вершины конуса (S", S'), направление его оси (SK), размеры высоты и диаметра основания; построить проекции конуса. На рис. 355 это сделано при помощи дополнительных плоскостей проекций.

Так, для построения фронтальной проекции введена пл. π₃, перпендикулярная к π₂ и параллельная прямой SK, определяющей направление оси конуса. На проекции S"'K"' отложен отрезок S"'C"', равный заданной высоте конуса. В точке С'" проведен перпендикуляр к S"'C"', и на нем отложен отрезок C"'B"', равный радиусу основания конуса. По точкам C"' и B"' получены точки C" и B" и тем самым получена малая полуось C"B" эллипса- фронтальной проекции основания конуса. Отрезок C"A" , равный C"'B"', представляет собой большуюполуось этого эллипса. Имея оси эллипса, можно его построить так, как былопоказано на рис. 147.

Для построения горизонтальной проекции введена плоскость проекций π₄, перпендикулярная к π₁ и параллельная SK. Ход построения аналогичен описанному для фронтальной проекции.

Как же построить очерки проекции? На рис. 356 показан иной, чем на рис. 354, способ проведения касательной к эллипсу — без вписанной в конус сферы.

Сначала радиусом, равным малой полуоси эллипса, из его центра проведена дуга (на рис. 356 это четверть окружности). Определяется точка 2 пересечения этой дуги с окружностью диаметра S"C". Из точки 2 проведена прямая параллельно большой оси эллипса; эта

прямая пересекает эллипс в точках К"₁ и К₂. Теперь остается провести прямые S"К"₁ и S" К"₂ они являются касательными к эллипсу и входят в очерк фронтальной проекции конуса.

На рис. 357 изображено тело вращения с наклонной осью, параллельной пл. π₂.Это тело ограничено комбинированной поверхностью, состоящей из двух цилиндров, поверхности кругового кольца и двух плоскостей. Очерк фронтальной проекции этого тела — его главный меридиан.

Очерк горизонтальной проекции верхней цилиндрической части данного тела составляется из эллипса и двух касательных к нему прямых. Прямая А'В' является горизонтальной проекцией образующей цилиндра, по которой проецирующая на π₁ плоскость касается поверхности цилиндра. Это же относится и к очерку проекции нижнего цилиндра (на рис. 357 этот очерк изображен не полностью).

Переходим к более сложной части очерка — промежуточной. Мы должны построить горизонтальную проекцию той пространственной кривой линии, в точках которой проходят проецирующие прямые, касательные к поверхности кругового кольца и перпендикулярные к пл. π₁. Фронтальная проекция каждой точки такой кривой построена таким способом, как это было сделано для точки А" на рис. 354,— при помощи вписанных сфер. Горизонтальные проекции точек определяются на проекции экватора соответствующей сферы. Так построена, например, точка D₁(D'₁, D"₁).

Точки К'₁ и К'₂ получаются по точке К"₁ (она же К"₂) на экваторе сферы с центром О, а эта точка К"₁ (К"₂) получается при проведении линии связи, касательной к построенной кривой B"D"₁C".

Итак, кривая B"D"₁K"₁ содержит фронтальные проекции точек, горизонтальные проекции которых В', D'₁, К'₁ входят в очерк горизонтальной проекции рассматриваемого тела.

Вопросы к §§ 53-54

1. Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности?
2. Что называется обыкновенной (или правильной) точкой поверхности?
3. Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке?
4. Что называется нормалью к поверхности?
5. Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо точке на сфере?
6. В каком случае кривая поверхность относится к числу выпуклых?
7. Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю? Укажите пример пересечения по двум прямым.
8. Как используются сферы, вписанные в поверхность вращения, ось которой параллельна пл. π₂, для построения очерка проекции этой поверхности на пл. π₁, по отношению к которой ось поверхности вращения наклонена под острым углом?
9. Как провести касательную к эллипсу из точки, лежащей на продолжении его малой оси ?
10. В каком случае очерки проекций цилиндра вращения и конуса вращения будут совершенно одинаковыми на пл. π₁, и пл. π₂?