Условная развертка поверхностей

В двух предыдущих параграфах было показано построение разверток гранных и торсовых поверхностей. Все остальные поверхности относятся к неразвертываемым — они не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и склеивания, т. е. теоретически неразвертываемые поверхности не имеют своей развертки. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертываемых поверхностей.

При необходимости изготовить из листового материала неразвертываемую поверхность приходится кроме изгибания осуществлять также сжатие и растяжение определенных участков листа.

Общий прием решения задачи на построение условной развертки неразвертываемой поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся способы построения условных разверток.

Допустим, что требуется изготовить из листового материала поверхность цилиндроида α, сопрягающего две трубы одинакового диаметра (рис. 301). Решение сводится к следующему: заданную неразвертываемую поверхность цилиндроида аппроксимируем вписанными в нее отсеками конической поверхности, которые, в свою очередь, заменяем треугольниками.

Чтобы заменить поверхность цилиндроида отсеками конических поверхностей, проводим на поверхности цилиндроида семейство прямолинейных образующих, параллельных плоскости параллелизма. В рассматриваемом случае плоскостью параллелизма служит фронтальная плоскость проекции. На участке поверхности, заключенной между двумя смежными образующими 1A и 2В, проводим "диагональ" 2А, полученные отсеки поверхности 1А2 и А2В принимаем за плоские треугольники. Также поступаем и со всеми остальными отсеками поверхности цилиндроида, заключенными между образующими. После этого осуществляем построение развертки многогранной поверхности, составленной из треугольников так же, как это было сделано на рис. 297.

Точки 10, 20, ... и A0, B0, ... соединяем плавными кривыми. На рис. 301 показана только половина развертки — вторая половина симметрична ей относительно прямой N0n0.

При построении условных разверток поверхностей вращения можно в качестве вспомогательных (аппроксимирующих) поверхностей использовать развертывающиеся цилиндрические и конические поверхности.

Рис. 302 и 303 дают наглядное представление о графическом способе построения условной развертки с помощью этих поверхностей. На рис. 302 показана произвольная поверхность вращения а, состоящая из кусков α1, α2, α3, ..., границами между которыми служат меридианы поверхности α.

Куски α1, α2, α3, ... неразвертывающейся поверхности а заменяем кусками цилиндрических поверхностей β1, β2, β3, ... (на рис. 302 указан только один кусок - отсек β1 ). После этого осуществляем развертку составной цилиндрической поверхности β — β1 ∪ β2 ∪ β3...

Рис 301.Условная развертка поверхностей Рис 302-303.Условная развертка поверхностей Рис 304.Условная развертка поверхностей

На рис. 303 показан пример перехода от произвольной поверхности вращения α к поверхности β, составленной из отсеков конических поверхностей β1, β2, β3,... , которыми заменяются куски α1, α2, α3, ... поверхности α; границами между этими кусками являются параллели поверхности α (на рис. 303 показан только один отсек β1).

Развертка отсеков конических поверхностей βj осуществляется по способу, изложенному на с. 204, рис. 299.

В качестве примера использования цилиндрической поверхности для построения условной развертки построим развертку поверхности сферы (рис. 304).

Для ее построения пересекаем поверхность сферы горизонтально проецирующими плоскостями γ1, γ2, γ3 проходящими через центр сферы. Куски сферической поверхности α1, α2, α3 ..., заключенные между меридиональными сечениями h1 — h2, h2 - h3,h3 - h4, заменяем кусками цилиндрических поверхностей β1, β2, β3, прямолинейные образующие которых перпендикулярны к плоскости средних меридиональных сечений h1ср, h2ср, h3ср,..

Длина образующих, в которые преобразуются дуги параллелей поверхности вращения, определяётся отрезками прямых, заключенных между соседними меридиональными плоскостями Формула.

Чтобы построить развертку куска цилиндрической поверхности β1, аппроксимирующего участок сферы α1, проводим горизонтальную прямую а. На ней откладываем [А0В0]. Через середину этого отрезка проводим вертикальную прямую, на которой откладываем спрямленное меридиональное сечение (на рис. 304 показана только его половина) и отмечаем на нем точки пересечения с параллелями сферы (М0, 10, 20, 30). Через точки М0, 10, 20, 30 проводим горизонтальные прямые и откладываем на них по обе стороны от вертикали M0S0 отрезки,

равные половине длин касательных, проведенных в точках М', 1', 2', 3' и заключенных между следами плоскостей h1 и h2 .

Полученные точки А0, A10, A20, А30 и В0, B10, В20, В30 соединяем плавными кривыми. Фигура A0S0B0 — условная развертка половины участка сферической поверхности . Пристроив к ней другую половину, расположенную симметрично относительно прямой α1 , получим развертку β10 участка α1. Для получения развертки всей сферической поверхности необходимо к участку β10 пристроить n (в нашем случае пять) фигур β20, β30, β40, β50, β60) конгруентных фигуре β10.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. Что называется разверткой поверхности?
  2. Какие поверхности относятся к развертывающимся?
  3. Перечислите свойства поверхности, которые сохраняются на ее развертке.
  4. Назовите способы построения разверток и сформулируйте содержание каждого из них.
  5. В каких случаях для построения развертки используются способы: нормального сечения, раскатки, треугольников?
  6. В чем состоит общий прием решения задачи на построение условной развертки неразвертываемых поверхностей?
  7. Сформулируйте и дайте подробное объяснение способов построения условной развертки.
  8. Как можно построить развертку усеченной конической поверхности с недоступной вершиной?
  9. Какой способ целесообразно использовать для построения условной развертки поверхности сферы?