Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности

1. Начнем с общей задачи — построить прямоугольную аксонометрическую проекцию окружности, расположенной в некоторой плоскости общего положения β.

Если пл. βр составляет с плоскостью аксонометрических проекций α острый угол φ (рис. 461), то аксонометрическая проекция окружности представляет собой эллипс. Большая ось этого эллипса является проекцией того диаметра окружности, который параллелен прямой MN пересечения плоскостей β и α; малая ось эллипса

Рис 461-463.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

будет проекцией того диаметра окружности, который располагается перпендикулярно к прямой MN, т. е. располагается на линии, определяющей наклон пл. β по отношению к пл. α. Если точка С есть центр окружности, расположенной в пл. β, то малая ось эллипса при проецировании этой окружности на пл. α окажется на прямой СαК. Размер малой оси эллипса будет зависеть от величины угла φ между плоскостями β и α; если (рис. 462) отрезок СВ равен радиусу (R) окружности, то малая полуось эллипса CαBα= Rcosφ.

2. Если φ = 0°, то СαВα = R : пл.β1 (рис. 463, а) параллельна плоскости аксонометрических проекций а, и аксонометрическая проекция окружности, расположенной в пл. β1 представляет собой окружность.

Если φ = 90°, то СαВα = 0: пл. β2 (рис. 463,6) перпендикулярна к плоскости аксонометрических проекций α, и аксонометрическая проекция окружности, расположенной в пл. β2, представляет собой отрезок прямой линии.

В случае, когда окружность проецируется в виде эллипса, можно построить проекции двух любых взаимно перпендикулярных диаметров. Получаются два сопряженных диаметра эллипса, что даст возможность построить самый эллипс, а также найти его оси по этим сопряженным диаметрам.

3. В последующем изложении рассмотрено непосредственное построение осей эллипса — прямоугольный аксонометрической проекции окружности, что сводится к нахождению направления и величины малой оси эллипса.

Так как величина малой оси зависит только от величины диаметра изображаемой окружиости и от величины угла φ (см. выше), то, очевидно, во множестве случаев будут получаться эллипсы — проекции окружностей — с повторяющимися по величине осями. Для этого необходимо и достаточно, чтобы все окружности были одного и того же диаметра и были расположены в плоскостях, составляющих с плоскостью аксонометрических проекций равные между собой углы. Такие плоскости касательны к конусу вращения, ось которого перпендикулярна к плоскости аксонометрических проекций, а образующая составляет с этой плоскостью угол φ. Назовем этот конус направляющим.

Например, окружности, расположенные в горизонтальных, фронтальных и профильных плоскостях, изображаются в изометрической проекции в виде эллипсов, малая ось которых составляет ≈0,58 от величины большой оси (см. дальше). Но если взять окружность в какой-либо плоскости, составляющей с плоскостью изометрических проекций угол, равный

≈54°45', т. е. угол, который образуют с плоскостью изометрических проекций плоскости π1, π2, π3, то отношение между величинами малой и большой осей эллипса — изометрической проекции окружности - будет также ≈0,58.

Представим себе прямоугольный тетраэдр, образованный плоскостями проекций и плоскостью изометрических проекций, с помещенным в нем направляющим конусом, вершина которого находится в точке О, окружность основания получается вписанной в треугольник следов, а образующая составляет с плоскостью изометрических проекций угол φ≈54°45'(tgφ = √2), Окружности, расположенные в плоскостях, касательных к направляющему конусу, изображаются в изометрической проекции эллипсами, малая ось которых составляет ≈0,58 от величины большой оси.

Итак, получается множество равных между собой эллипсов — аксонометрических проекций окружностей одного и того же диаметра — во множестве положений относительно аксонометрических осей.

Но эллипсы могут повторяться не только по величине, но и по положению относительно аксонометрических осей, т, е, можно получить одинаковые и одинаково направленные эллипсы-проекции, хотя окружности-оригиналы расположены не в параллельных между собой плоскостях. Если представить себе два равных направляющих конуса, поставленных на плоскость аксонометрических проекций по обе ее стороны, и рассмотреть плоскости, касательные к направляющим конусам и имеющие общий след на плоскости аксонометрических проекций (или параллельные им плоскости), то окружности равных диаметров, расположенные в этих плоскостях, изобразятся в аксонометрической проекции равными и одинаково направленными эллипсами.

4. Обратимся теперь к рассмотрению способа построения малой оси эллипса, представляющего собой прямоугольную аксонометрическую проекцию окружности радиуса R, расположенной в пл. β, составляющей с плоскостью аксонометрических проекций α некоторый острый угол φ. Положим, что в точке С (рис. 462) проведен перпендикуляр CD к пл. β. Проекция этого перпендикуляра на пл. α расположится на той же прямой СαК, на которой находится и малая ось эллипса — аксонометрической проекции окружности, проведенной в пл. β из центра С.

Следовательно, проекция на пл. α перпендикуляра, проведенного к пл. β, определяет направление малой оси эллипса.

Если на этом перпендикуляре отложить от точки С отрезок CD = R и построить прямоугольный треугольник CED, то можно установить, что ΔCED = = ΔСВ1В и катет DE = BB1 = СαВα = Rcosφ, т. е. равен половине малой оси эллипса. Второй катет этого треугольника — катет СЕ — равен CαDα, т. е. равен проекции самого отрезка CD на плоскости аксонометрических проекций α.

Следовательно, можно построение осей эллипса, представляющего собой аксонометрическую проекцию окружности радиуса R, расположенной в плоскости общего положения Р, выполнить следующим образом:

а) на чертеже (рис. 464, слева) провести перпендикуляр к пл. β из центра окружности (точка С) и отложить на этом перпендикуляре отрезок CD = R;

Рис 464.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

Рис, 464

б) построить в данной системе аксонометрических осей по координатам точек С и D аксонометрическую проекцию отрезка CD — отрезок CαDα, (рис. 464, справа), который даст направление малой оси эллипса;

в) определить размер малой полуоси эллипса, для чего провести в точке Сα перпендикуляр к CαDα, засечь его дугой радиуса, равного R, проводимой из точки Dα как из центра, и длину полученного отрезка СαВ, равную R cosφ, отложить па прямой CαDα по обе стороны от Сα; мы получим малую ось эллипса (В1В2 = 2Rcosφ);

г) на перпендикуляре, проведенном в точке Сα к прямой CαDα, отложить отрезки СαА1 и СαА2, равные каждый радиусу R изображаемой окружности; мы получим большую ось эллипса (А1А2 = 2R).

Эллипс может быть построен по найденным его осям 1)

5. Применим указанный способ построения осей эллипса, представляюдцего собой прямоугольную аксонометрическую проекцию окружности, и в случаях, когда окружность расположена в проецирующей плоскости. При этом отпадает построение проекций отрезка по заданной его величине R: если окружность находится в пл. γ (рис. 465), то перпендикуляр к этой плоскости параллелен пл. π2, и, следовательно, на этой плоскости получается проекция в виде отрезка, равного проецируемому отрезку R.

Построение дано для двух положений: на рис. 465 окружность радиуса R расположена в фронтально-проецирующей плоскости γ, на рис. 466 2) — в горизонтально-проецирующей плоскости β. Так же, как и в случае плоскости общего положения, надо построить по координатам точек С (центр изображаемой окружности) и D аксонометрическую проекцию отрезка CD, равного R, определить размер малой полуоси при помощи такого же построения, как и на рис. 464, и построить эллипс по найденным его осям.

6. Применим изложенный способ построения к часто встречающемуся на практике случаю, когда окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций. Положим, что окружность расположена в некоторой горизонтальной пл. γ (рис. 467). В таком случае перпендикуляр, проведенный из центра окружности к пл. γ, будет параллелен оси z и его аксонометрическая проекция — отрезок DαСα — располагается параллельно аксонометрической оси 0αz.

Но аксонометрическая проекция этого перпендикуляра определяет направление малой оси эллипса. Следовательно, малая ось эллипса в данном случае оказывается параллельной оси 0αz и большая ось эллипса перпендикулярна к этой оси. Очевидно, рассмотрение случаев, когда окружности расположены во фронтальной и в профильной плоскостях, приведет нас к заключению, что большая ось эллипса в нервом случае будет перпендикулярна к оси 0αу, а во втором — к оси Оαх. Получаем изображенную на рис. 468 схему расположения осей эллипсов при прямоугольном аксонометрическом проецировании окружностей, расположенных в плоскостях, соответственно параллельных плоскостям проекций.

Определение размера малой полуоси в этих случаях может быть произведено так же, как указывалось вьпце. По построенным осям эллипса строятся и сами эллипсы.

Применим это к рассмотренным выше изометрической и диметрической проекциям.

1) На рис. 464 построение выполнено в изометрической проекции с применением натуральных коэффициентов искажения Формула

2) На рис. 465 построение выполнено в изометрической проекции с приведенными коэффициентами искажеиия; поэтому на чертеже взято 1,22R. На рис. 466 построение выполнено в диметрической проекции с приведенными коэффициентами искажения; поэтому на чертеже взято 1,06R.

Рис 465-466.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями Рис 467-468.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

7. Изометрическая проекция. Так как плоскость изометрической проекции наклонена к плоскостям проекций π1, π2 и π3 под одним и тем же углом, то достаточно определить малую полуось эллипса хотя бы для случая, когда окружность радиуса R расположена в плоскости, параллельной пл. π1.

Положим, что координаты были отложены без умножения на 0,82. В этом случае CαDα (рис. 467,6 и в) получается равным R и из точки Dα надо провести дугу, засекающую перпендикуляр к CαDα радиусом, равным 1,22R. Из прямоугольного треугольника CαDαK получаем СαК (малая полуось эллипса) ≈√((l,22R)2 - R2) ≈ 0,7R. Этому будет соответствовать большая полуось, равная 1,22 R.

Если координаты откладываются с пересчетом на коэффициент искажения 0,82, то полуоси эллипса получаются равными: большая R, малая 0,58R.

Итак, если окружность диаметра D расположена в горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости, то в изометрической проекции большая ось эллипса равна D, а малая ось равна 0,58D. Если же взять изометрическую проекцию с приведенными коэффициентами, то оси указанных выше эллипсов надо брать соответственно равными 1,22D и 0,7D.

К четырем точкам — концам осей эллипса — можно добавить еще четыре точки — концы двух сопряженных диаметров эллипса, параллельных соответственно двум из аксонометрических осей (в зависимости от того, какой плоскости координат параллельна плоскость, в которой лежит рассматриваемая окружность). Эти сопряженные диаметры при указанном выше увеличении (1,22) равны диаметру изображаемой окружности.

Пусть, например, надо построить изометрическую проекцию окружности диаметром 100 мм, расположенной в пространстве в некоторой плоскости, параллельной пл. π3. Положение эллипса определяется осями Оαу и Oαz. Взяв на чертеже согласно тому или иному условию центр Сα (рис. 469), проводим:

а) прямую, перпендикулярную к оси х, и откладываем на ней большую ось эллипса A1A2 = 122 мм;

б) прямую, параллельную оси х, и откладываем на ней малую ось эллипса B1B2 = 70 мм;

в) прямую, параллельную оси у, и откладываем на ней диаметр эллипса D1D2 = 100 мм;

г) прямую, параллельную оси z, и откладываем на ней диаметр эллипса E1E2 = 100 мм;

Рис 469.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

Найденные восемь точек позволяют воспроизвести сам эллипс достаточно точно даже от руки. Обычно при обводке эллипса не оставляют большой и малой его осей, а указывают лишь направления, параллельные аксонометрическим осям; при этом одно из них, а именно соответствующее оси, перпендикулярной к плоскости изображаемой окружности, отмечается утолщенной линией.

Размер малой оси может быть получен способом, указанным на рис. 469 справа: построив большую ось эллипса А1А2 и перпендикуляр к ней в центре эллипса Сα, проводим из конца большой оси (например, из А1) прямую, параллельную оси х, или у, или z, до пересечения с этим перпендикуляром; полученный отрезок СαВ1 определяет малую полуось.

8. Диметрическая проекция. Так как плоскость диметрической проекции наклонена под одним и тем же углом только к двум плоскостям проекций π1 и π3, то надо определить малую полуось эллипса для случая, когда окружности расположены в плоскостях, параллельных плоскостям проекций π1 и π3, и отдельно для случая, когда окружность расположена в плоскости, параллельной пл. π2.

Применяя построение, аналогичное указанному на рис. 467, получим в одном случае (рис. 470) CαDα|| оси z, а в другом CαDα|| оси у и, следовательно, в первом случае CαDα = R, а во втором СαDα = 0,5R, где R — радиус окружности, изображаемой в диметрической проекции (следует помнить, что диметрическая проекция строится но приведенным коэффициентам искажения 1:0,5:1).

Рис 470-471.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

Из прямоугольных треугольников CαDαK (рис. 470) следует, что в первом случае СαК (малая полуось эллипса) равна

Формула

, а во втором случае она равна

Формула

Итак, если окружности диаметра D расположены в горизонтальной и профильной плоскостях (или параллельно им), то в диметрической проекции большая ось эллипса получается равной D, а малая ось D/3.

Если же окружность диаметра D расположена во фронтальной плоскости (или параллельно ей), то в диметрической проекции этой окружности оси эллипса: большая ось D, а малая 0,88D. Но так как диметрическая проекция строится по приведенным коэффициентам искажения, то оси эллипса надо брать для окружностей, лежащих в горизонтальной и профильной плоскостях (или параллельно этим плоскостям), равными 1,06D и 0,35D, а для окружности, лежащей во фронтальной плоскости (или параллельно ей),— равными 1.06D и 0,94D.

На рис. 471 дано построение восьми точек для каждого эллипса в диметрической проекции. Во всех случаях большая ось А1А2=1,06D, диаметры F1F2 = E1E2 = D, диаметр D1D2 = 0,5D; что же касается малой оси В1В2, то в двух положениях она равна 0,35D, а в одном (когда она параллельна оси у) равна 0,94D.

Рис 472.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

При обводке эллипсов, так же как и в изометрической проекции, указывают лишь на правления, параллельные осям (см. рис. 471, справа). Для эллипса, малая ось которого направлена параллельно оси у, можно найти точку В1 проведя из точки A1 прямую, параллельную оси х (если через точку А1 провести прямую, параллельную оси z, то получится точка В2).

9. Рассмотрим другой вывод значений коэффициентов для подсчета величины малой оси эллипса, изображающего окружность, расположенную в пространстве в координатной плоскости хОу, или xOz, или yOz (или параллельно этим плоскостям). На рис. 472 изображены плоскости аксонометрических проекций в совмещении с плоскостью рисунка, т. е. во фронтальном положении: 1) плоскость изометрических проекций, 2) плоскость диметрических (1:0,5:1) проекций, 3) то же, но при вертикальном положении оси у. Во всех случаях даны еще изображения на дополнительной, профильной плоскости, причем изображены плоскости аксонометрических проекций (α'") и оси координат в их положении относительно плоскости аксонометрических проекций для изометрической и диметрической проекций.

Так как в изометрической проекции углы между координатными осями Ох, Оу и Oz и плоскостью изометрических проекций одинаковы и коэффициент искажения равен во всех трех случаях Формула. то построение проекции O"'αz"' сводится к потроению угла φ по значению его косинуса:Формула. Так как ось Oz в пространстве лежит в профильной плоскости, то нрофильная проекция координатной плоскости хОу представит собой прямую лйнию под углом 90° к O"'αz"'.

Теперь можно перейти к подсчету коэффициента для определения величины малой оси эллипса при построении изометрической проекции окружности, отнесенной к координатной плоскости хОу. Из всех диаметров окружности наиболее сократится тот, который расположен под углом σ к плоскости изометрических проекций. Пусть это диаметр с проекциями В"1В"2 и В"'1В'"2, причем В"'1В"'2 = диаметру окружности (с учетом масштаба чертежа).

Так как σ + φ = 90°, то Формула Но для определения В"1В"2 по В"'1В'"2 надо иметь

Формула

Итак, в изометрической проекции для подсчета величины малой оси эллипса по величине диаметра окружности надо брать коэффициент 0,58, а в пересчете на приведенные коэффициенты искажения 0,7. Это справедливо для всех трех случаев:

1) Все расчеты даны в натуральных коэффициентах, а не в приведенных.

окружность в пространстве расположена в горизонтальной плоскости, или во фронтальной, или в профильной.

Переводя, далее, к диметрической проекции (2-е и 3-е положения на рис. 472), следует обратить внимание на то, что плоскость диметрических проекций наклонена под одним и тем же углом только к двум координатным осям, а именно к Ох и к Oz. Поэтому даны два положения (2-е и 3-е): в первом окружность рассматривается в плоскости хОу (это распространяется и на случай расположения окружности в плоскости yOz), во втором положении окружность рассматривается в плоскости xOz.

Формула

а в пересчете на приведенные коэффициенты искажения ≈0,35 и ≈0,94.