Решение метрических задач на аксонометрических проекциях

Между ортогональными и аксонометрическими проекциями существует зависимость, которая позволяет по ортогональным проекциям геометрической фигуры и заданному направлению аксонометрического проецирования построить треугольник следов и, наоборот, по заданной проекции треугольника следов определить направление аксоно-метрического проецирования. Связь между ортогональными и аксонометрическими проекциями позволяет преобразовать последние в проекции ортогональные и решать на них метрические задачи.

В тех случаях, когда геометрическая фигура Ф расположена в одной из координатных плоскостей или в плоскостях, параллельных координатным, для определения метрических характеристик фигуры Ф достаточно выполнить построения, переводящие плоскость фигуры в положение, совмещенное с плоскостью чертежа (или параллельное ей).

Геометрические построения, которые необходимо осуществить для совмещения координатной плоскости с плоскостью аксонометрической проекции, можно проследить на рис. 319. Пусть заданы аксонометрические оси х0, у0 и z0. Строим треугольник следов, для чего на оси х0 отмечаем произвольную точку X0α. Через Х0α проводим стороны треугольника Х0αY0α ⊥ z0, X0αZ0α ⊥ у0 и Z0αY0α ⊥ х0 . Прямые (Х0αY0α), (X0αZ0α), (Z0αY0α) являются следами картинной плоскости α на координатных плоскостях (X0αY0α) ≡ h0, (X0αZ0α) ≡ f0 и (Z0αY0α) ≡ ω0. Для совмещения плоскости хОу с плоскостью α необходимо повернуть ее вокруг горизонтального следа h0. При этом точки X0α и Y0α плоскости хОу, как принадлежащие оси вращения h0, не меняют своего положения во время вращения. Поэтому для определения совмещенного положения плоскости хОу достаточно повернуть точку О до ее совмещения с плоскостью α. Точка О0 при вращении вокруг оси h0 будет перемещаться по окружности с центром в точке С0. Эта окружность принадлежит плоскости γ ⊥ α.

Рис 317-318.Решение метрических задач на аксонометрических проекциях

Совмещенное положение точки О0 находится в точке пересечения перпендикуляра к оси вращения h0, проведенного через О0, и дуги окружности с центром в точке С0, радиусом С0Х0α. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что в натуре Формула. Выполненные построения обеспечивают равенство Формула, так как он образован хордами, опирающимися на диаметр. Для определения совмещенного с плоскостью α положения точки А, принадлежащей плоскости хОу, достаточно провести прямую а0 ⊃ (О0A0), найти ее совмещенное положение а0 и на а0 определить точку A0 .

Совмещенное положение плоскостей xOz и yOz с аксонометрической плоскостью α находится аналогично рассмотренному случаю с той лишь разницей, что вращение плоскостей осуществляется соответственно вокруг осей f0 и ω0

Проведение прямой, перпендикулярной к плоскости, является одной из основных метрических задач. Проследим, как может быть решена зга задача с помощью совмещения координатной плоскости с аксонометрической. Пусть требуется провести прямую l , перпендикулярную плоскости β и проходящую через точку О (рис. 320).

РЕШЕНИЕ.

1. Строим треугольник следов X0αY0αZ0α, для чего на оси x0 отмечаем точку X0α. При выборе положения точки Х0α необходимо следить за тем, чтобы две стороны треугольника следов пересекали следы заданной плоскости β.

2. Определяем (А0В0) - линию пересечения плоскости β с плоскостью аксонометрии α [ (А0Вα) = β ∩ α].

3. (А0В0) - след плоскости β на плоскости α, поэтому аксонометрическая проекция перпендикуляра l0 будет перпендикулярна к (A0В0). Проводим l0 так, чтобы l0 ⊥ (А0В0) ∧ (l0 ∋ О0).

4. Чтобы построить вторичную проекцию перпендикуляра, совмещаем координатную плоскость хОу с плоскостью α (построения выполнены аналогично показанным на рис. 319). Совмещенное положение следа h00 определяется точками Х00. Из точки О0 опускаем перпендикуляр O0C00 на прямую h00. Зная положение С00, находим С0. Определяем вторичную аксонометрическую проекцию перпендикуляра l1 0.

Следует иметь в виду, что решение метрических задач на аксонометрических проекциях сопряжено с определенными трудностями. Поэтому целесообразно при выявлении метрических характеристик геометрической фигуры, заданной в аксонометрических проекциях, перейти к заданию этой фигуры в ортогональных проекциях и решать задачу так, как это было рекомендовано в гл. VI.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. Какие проекции называются аксонометрическими?
  2. Как производится переход от ортогональных координат к аксонометрическим?
  3. Что такое треугольник следов?
  4. Чему равны показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольных изометрических и диметричес- ких проекциях?
  5. Как определить аксонометрические оси, если задан треугольник следов ортогональных аксонометрических (изомет рических и диметрических) проекций?
  6. Что такое аксонометрический масштаб?
  7. Укажите коэффициенты искажения для большой и малой оси эллипса - аксонометрической проекции окружности, принадлежащей координатной плоскости (или параллельной ей) для изометрии и диметрии.
  8. Сформулируйте теорему Польке.
  9. В чем различие между прямоугольными и косоугольными аксонометрическими проекциями?