О возможности использования ЭЦВМ для графического решения задач

Отметим сразу, что использование современной электронно-вычислительной машины является не только возможным, но, как это будет показано, вполне логичным путем для решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме.

Возможность применения ЭЦВМ для аналитического решения задач сейчас ни у кого не вызывает сомнения.

Если мы обратимся к графическому решению задач, то легко убедиться, что между графическим и аналитическим способами решения имеется много общего. Эта общность вытекает из изоморфизма между алгеброй и геометрией.

Действительно, основными неопределяемыми понятиями математики являются точка и число. Многообразие (множество) точек определяют различные геометрические фигуры, которые являются предметом изучения в геометрии. Изучением многообразия (множества) чисел,

выраженных в символической форме, занимается алгебра. Любое теоретическое исследование в области точных наук осуществляется путем использования различных математических операций. Простейшей операцией в геометрии является движение, с помощью которого можно каждую точку (множество точек) перевести в некоторую другую точку (другое множество), установив взаимное соответствие между старым (исходным) и новым (преобразованным) положениями. Аналогичной операцией в алгебре служит преобразование, устанавливающее соответствие между числами и их многообразиями. Изоморфизм между алгеброй и геометрией позволяет алгебре приобретать геометрическую форму и наоборот.

Достаточно ввести понятие гипоточка (элемент пространства, точечность которого на единицу меньше точечности точки — пустое множество) , чтобы записать элементы многомерного пространства в символике арабских цифр в виде конечного множества 0, 1, 2, 3, ..., N, полностью сходного с конечным множеством чисел 0, 1, 2, 3, ..., N.

Между операциями над элементами пространства и действиями над числами много общего. Так, например, пересечение элементов пространства, выраженное в аддитивной записи, напоминает сложение целых чисел. Аналитическое решение задач, выраженное в форме уравнений, сводится к операции исключения неизвестных.

Аналогичные приемы применяют и при графических решениях. Более того, в самой идее проецирования трехмерных объектов на плоскость проекции (основного метода начертательной геометрии) используется прием исключения одной из трех координат.

Соответствие между алгеброй и геометрией позволяет при решении математических задач не делать (с чисто формальной точки зрения) различия, каким способом оно осуществляется: аналитическим или графическим.

Различие между графическими построениями и алгебраическими преобразованиями, являющимися промежуточными операциями, которые приходится выполнять в процессе решения задачи, есть лишь формальная сторона вопроса. Она не может служить поводом для утверждения, что имеется принципиальное отличие между графическим и аналитическим методами решения. Более существенным оказывается не отличие двух методов решения, а то общее, что объединяет эти методы. Основанием для такого объединения является:

1) выполнение в определенной последовательности различных логических и арифметических (или графических) операций;

2) использование промежуточных результатов в ходе последующих операций;

3) необходимость изменять направление процесса решения в зависимости от результатов промежуточных операций.

Таким образом, для осуществления автоматизации процесса решения задач нужно иметь машину, которая должна:

- производить в определенной последовательности различные логические и арифметические операции, необходимые для решения задачи;

- иметь устройство для хранения исходных величин и промежуточных результатов;

- быть способной автоматически выбирать нужное продолжение дальнейшего процесса решения в зависимости от результатов промежуточных операций.

Всем этим требованиям отвечают электронные цифровые вычислительные машины. Что касается выполнения геометрических построений, то они необходимы, если решение задачи осуществляется вручную. При переходе к машинному решению оказывается возможным избежать таких построений (см. § 74). Последнее утверждение основано на богатом опыте, накопленном в результате механизации процесса ручного труда.

Известно, что машина выполняет какие-либо операции, взятые из сферы физической деятельности человека, не так, как это делает человек. В этом легко убедиться на простом примере: швейная мйшина, предназначенная для облегчения труда швеи, сшивает ткани лучше и быстрее, но не так, как это делает швея. Очевидно, машинизируя процессы, взятые из области умственной деятельности человека, мы встретимся с таким же явлением.

Можно показать, что использование ЭЦВМ для автоматизации процесса решения задачи графическим методом является не только возможным, но в ряде случаев и более логичным, чем применение таких машин для автоматизации процесса решения задач аналитическим способом.

В защиту такой постановки вопроса можно привести высказывание крупнейшего философа и математика Г. Лейбница (1646—1716), который впервые обратил внимание на перспективность использования двоичной системы счисления. Он писал, в частности, что "... вычисление с помощью двоек, т. е. О и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии даже в практике чисел, а особенно в геометрии, причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок". Г. Лейбниц не имел в виду использование двоичной системы счисления в ЭЦВМ, но его прогноз был поистине гениальным. В ЭЦВМ применяется, как правило, двоичная система счисления.

И еще одно обстоятельство, на которое мы хотим обратить внимание читателя. Чертеж, являющийся формой задания исходных данных задачи, решение которой целесообразно осуществлять графическими методами, может быть расчленен на черные (принадлежащие линиям) и белые (определяющие свободное поле чертежа) элементарные площадки, т. е. любой чертеж может быть представлен в виде двоичных сигналов (черное — да, 1; белое — нет, 0), передаваемых в машину. Причем информацию о чертеже, выраженную в форме только двух резко отличающихся сигналов, можно получить и ввести в машину без участия человека. Это удобнее, чем трансформирование в такие же сигналы величин, входящих, в качестве исходных данных в аналитические выражения.

Получив информацию об исходных данных Задачи, ЭЦВМ может, по указанию человека, приступить к обработке этой информации по программе, составленной, в частности, и по алгоритму графического решения задач.

Все сказанное не оставляет сомнения в том, что имеется принципиальная возможность использовать ЭЦВМ для графического решения задач.