Способ перемены плоскостей проекции

Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей проекций 2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система π1, π2 дополняется плоскостями, образующими с π1, или π2, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

1) Мы применяем распространенное название «перемена плоскостей проекций», но на самом деле плоскости проекций π1 и π2 остаются и лишь вводятся дополнительные плоскости проекций.

2)Впервые на русском языке способ перемены плоскостей проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге «Начертательная геометрия», 1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.

Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения.

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например π3⊥π1 или π4⊥π2 при этом пл. π3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. π4 — фронтально-ироецирующей. Если введение одной плоскости, π3 или π4, не позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость π3⊥π1, получают первую новую систему — π31, а затем от этой системы переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. π4⊥π3. При этом пл. π4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе π1, π2. Таким образом, производится последовательный переход от системы π1, π2 к системе π3, π4 через промежуточную систему π3, π1

Если плоскости π3 и π4 все же не разрешают вопроса полностью, можно перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную к π4.

При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы плоскостей π1 и π2 (см. § 7).

Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы числитель и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции.

Введение в систему π1, π2 одной дополнительной плоскости проекций. В большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему π1, π2 в качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию, отвечающему цели построения. Примером может служить пл. π3 на рис. 77: так как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и пл. π1, то пл. π3 была расположена перпендикулярно к пл. π1 (образовалась система π3, π1) и || АВ.

На рис. 202 также выбор пл. π3 подчинен цели — определить угол между прямой CD и плоскостью проекций π2. Поэтому π3⊥π2 и в то же время пл. π3 параллельна прямой CD (ось π32 || C"D"). Кроме искомого угла φ2 определилась и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').

И в случае, изображенном на рис. 203; выбор пл. π3 вполне зависит от задания: определить натуральный вид ΔАВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником. перпендикулярна к пл. π2, то для его изображения без искажения надо ввести в систему π1, π2 дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: π3 ⊥π2 (для образования системы π2, π3) и π3||АВС (что дает возможность изобразить ΔАВС без искажения). Новая ось π23 проведена параллельно проекции А"С"В". Для построения проекции А"'В'"С"' от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек А'. В' и C' от оси π2/яπ1. Натуральный вид ΔАВС выражается новой его проекцией А"'В"'С"'.

Рис 202-203.Способ перемены плоскостей проекции

Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. π3 не уточнен и она может быть любой горизонтально-проецирующей, или фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения — получить проекции точки пересечения двух профильных прямых АВ и CD, лежащих в общей для них профильной плоскости 1). На рис. 204 показана горизонтально-прое- цирующая пл. π3 в качестве дополнительной плоскости проекций.

Взаимное положение новых проекций А'"В"' и C'"D'" определяет взаимное положение заданных прямых: в данном случае прямые пересечения на пл. π3 является точка К'"; ней находим проекции К' и К".

Рис 204-207.Способ перемены плоскостей проекции

Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например, преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе π1, π2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций. Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость π3 проведена так, что плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, стала перпендикулярной к пл. π3. Как же это получено?

В треугольнике АВС проведена горизонталь AD. Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к пл. π1 (так как AD||π1). Этому удовлетворяет пл. π3, ΔАВС проецируется на нее в отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рис. 206), то пл. π3 следует провести перпенди-

1) То, что прямые АВ и CD пересекаются, следует из сравнения положений точек А и В, С и D.

кулярно к следу h', т. е. к линии пересечения пл. α и пл.π1. Тем самым пл. π3 окажется перпендикулярной к пл.π1 (т. е. явится дополнительной плоскостью проекций) и к пл. α. Теперь надо построить след пл. α на пл. π3. Так как α⊥π3, то проекция на пл. π3 любой точки пл. α получится на прямой пересечения пл. α с пл. π3, т. е. на следе α'". На рис. 206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"; построена ее проекция N"' (N"'1=N"N'), через которую, а также через точку пересечения следа h' с осью π31, проходит след α'".

кулярно к следу h', т. е. к линии пересечения пл. α и пл.π1. Тем самым пл. π3 окажется перпендикулярной к пл.π1 (т. е. явится дополнительной плоскостью проекций) и к пл. α. Теперь надо построить след пл. α на пл. π3. Так как α⊥π3, то проекция на пл. π3 любой точки пл. α получится на прямой пересечения пл. α с пл. π3, т. е. на следе α'". На рис. 206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"; построена ее проекция N"' (N"'1=N"N'), через которую, а также через точку пересечения следа h' с осью π31, проходит след α'".

Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению утла φ1 наклона заданных плоскостей к пл. π1. Если же взять пл. π3 (рис. 207), перпендикулярную к пл. π2 и к плоскости, заданной треугольником АВС (для чего надо провести ось π23 перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то определится угол φ2 наклона плоскости АВС к пл. π2.

Введение в систему π2 двух дополнительных плоскостей проекций. Рассмотрим введение в систему π1, π2 двух дополнительных плоскостей проекций на следующем примере.

Пусть требуется заданную в системе π1, π2 прямую общего положения АВ расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в системе π1, π2 окажется плоскостью общего положения, т. е. не перпендикулярной ни к π1 ни к π2. Но этим нарушится условие введения дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22).

Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы π1, π2 перейти к системе π3, π1 в которой π3⊥π1 и π3||АВ, а затем перейти к системе π3, π4, где π4⊥π3 π4⊥АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и АIV точки А, В'" и BIV точки В. Прямая общего положения в системе π1, π2 оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций π4 с переходом через промежуточную стадию параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости π3. Так как пл. π3 расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек A и В от пл. π3равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось π34 перпендикулярно к А"'В"' (что соответствует в пространстве перпендикулярности пл. π4 к прямой АВ) и отложив отрезок AIV3, равный А'2, получаем обе проекции, AIV и BIV в одной точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ⊥π4.

Рис 208-209.Способ перемены плоскостей проекции

На рис. 210 дан пример построения натурального вида ΔАВС. Здесь также введены две дополнительные плоскости проекций π3 и π4, но по такой схеме: π3⊥π1 и π3⊥АВС, а π4⊥π3, а π4||АВС. Заключительная стадия построения свелась к проведению пл. π4|| пл. АВС (так как требовалось определить натуральный вид ΔАВС); промежуточной стадией была перпендикулярность дополнительной плоскости π3 к пл. АВС. Эта промежуточная стадия повторяет построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии построения на рис. 210 ось π34|| С"'A"'B"', т. е. пл. π4 проведена параллельно пл. АВС, что и приводит к определению натурального вида, выражаемого AIVBIVCIV.

Рис 210.Способ перемены плоскостей проекции

Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости ΔАВС и пл. π4, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно ΔАВС и пл. π3. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить перпендикулярность (АВ⊥π4), предварительно потребовалось положение параллельности (АВ||π3).


Вопросы к §§ 32-33

  1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V?
  2. В чем заключается основное различие этих способов?
  3. В чем заключается способ, известный под названием «способ перемены плоскостей проекций»?
  4. Какое положение в системе π12 должна занять плоскость проекций π3, вводимая для образования системы π3, π1?
  5. Какое положение в системе π1, π2 займет плоскость проекций π4 при последовательных переходах от π1, π2 через π3, π1 к π3, π4?
  6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с плоскостями π1 и π2, вводя дополнительные плоскости проекций?
  7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему π1 π2, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к пл. π1, или к пл. π2?
  8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему π1, π2, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?
  9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры, плоскость которой есть плоскость общего положения.