как проверить кишечник на онкологию без колоноскопии . очищение кишечника для похудения . очищение кишечника от шлаков . очищение желудка и кишечника . колоноскопия кишечника в краматорске . очищение кишечника от паразитов . как принимать касторовое масло для очищения кишечника

Другие способы преобразования ортогональных проекций

Кроме плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций начертательная геометрия располагает большим количеством различных способов получения новых, наиболее удобных для решения задач проекций по заданным неудобным.

В тридцатые годы вышла в свет книга С. М. Колотова "Вспомогательное проектирование"*, в которой были изложены основные принципы получения неискаженного вида прямоугольных проекций на специально выбранную плоскость, а также построения косоугольных и центральных проекций на заданные плоскости проекции.

В последующие годы появилась серия работ, посвященных созданию новых и усовершенствованию ранее предложенных способов вспомогательного проецирования.

Особое место среди этих работ занимают работы, посвященные криволинейному вспомогательному проецированию. Их авторы использовали для получения вспомогательных проекций в качестве проецирующих кривые линии, пространственные или плоские.

В настоящее время имеется много хорошо разработанных и доведенных до практического использования способов, которые могут быть объединены под общим названием вспомогательное проецирование.

Рис. 82 ... 85 дают наглядное представление о получении проекций, удобных для решения задач с помощью вспомогательного проецирования. Так, на рис. 82 решена задача по определению расстояния между скрещивающимися прямыми а и Ь путем ортогонального проецирования этих прямых на вспомогательную плоскость α⊥a. При этом направление проецирования s || а.

Рис. 83 показывает целесообразность использования косоугольного проецирования на заданную плоскость проекции при решении задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью.

Известно, что точка встречи прямой с плоскостью определяется элементарно просто, если плоскость занимает проецирующее положение. В случае, изображенном на рис. 83, плоскость общего положения α переведена во фронтально проецирующее положение путем проецирования α на плоскость проекции π2 в направлении горизонтали этой плоскости.

На рис. 84 для определения точек встречи прямой а с произвольной конической поверхностью применено центральное проецирование. За центр проекций принята вершина конической поверхности S. В этом случае коническая поверхность оказывается проецирующей, что значительно упрощает решение поставленной задачи.

На рис. 85 приведен пример решения задачи по определению точек встречи прямой с поверхностью кольца. Для упрощения решения ртой задачи использовано криволинейное (в частности, окружностное) проецирование. При таком способе проецирования поверхность кольца оказывается горизонтально проецирующей. Все построения для нахождения положения точек М и N ясны из чертежа и не требуют пояснений.

Использование теорем проективной геометрии и свойств коллинеарных преобразований дало толчок к созданию различных способов

* Колотое С. М. Вспомогательное проектирование. Киев, 1933.

Рис 82-83.Другие способы преобразования ортогональных проекций Рис 84-85.Другие способы преобразования ортогональных проекций Рис 86.Другие способы преобразования ортогональных проекций

перспективно-аффинных и гомологических преобразований ортогональных проекций, составляющих основу проективных преобразований.

На рис. 86 показано перспективно-аффинное преобразование эллиптического параболоида в параболоид вращения. Рис. 87 дает наглядное представление о преобразовании поверхности гиперболоида вращения α в сферу α1 путем гомологических преобразований, Не вызы-

Рис 87.Другие способы преобразования ортогональных проекций Рис 88.Другие способы преобразования ортогональных проекций

вает сомнения целесообразность таких преобразований. Действительно, при решении позиционных задач лучше иметь дело с поверхностью вращения, чем с эллиптическим параболоидом (рис. 86), и со сферой, чем с поверхностью гиперболоида вращения (рис. 87). И, наконец, применение топологических преобразований пространства и погруженных в него геометрических фигур привело к созданию чрезвычайно гибкого способа, позволяющего осуществить преобразование сложных нелинейчатых поверхностей, ограничивающих геометрические тела, в простые цилиндрические поверхности и даже плоскости.

В основе рассматриваемых преобразований лежат топологические свойства:

а) взаимная однозначность - каждой точке исходной фигуры Ф соответствует одна и только одна точка преобразованной фигуры Ф1;

б) взаимная непрерывность - бесконечно близким точкам исходной фигуры Ф соответствуют также бесконечно близкие точки преобразованной фигуры Ф1. На рис. 88 бесконечно близким точкам А и В фигуры Ф соответствуют две бесконечно близкие точки А1 и В1 фигуры Ф1.

Преобразования, обеспечивающие сохранение топологических свойств составляют теоретическую базу способа топологических преобразований.

Рис 89.Другие способы преобразования ортогональных проекций

На рис. 89 показано решение задачи по определению точек встречи плоской кривой l с произвольной поверхностью вращения α. Топологическим преобразованием фигура Ф, ограниченная произвольной поверхностью вращения α, преобразована в шар α1. Указанными преобразованиями задача сведена к простейшей - определению точек встречи плоской кривой с поверхностью сферы. Зная положение точек M1 и N1, с помощью линий связи (прямых, параллельных оси х) определяем М и N.

Изучение отмеченных выше способов преобразования ортогональных проекций выходит за рамки учебной программы курса начертательной геометрии для втузов. Мы остановились на них лишь для того, чтобы читатель имел в виду, что кроме классических способов (см.. § 9 ... 14) в арсенале начертательной геометрии имеются и другие, подчас более мощные, способы преобразования ортогональных проекций*.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. В чем состоит принцип преобразования ортогональных проекций способом плоскопараллельного перемещения?
  2. В чем: состоит отличие способа вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскости проекции, от способа параллельного перемещения?
  3. Как определяется положение центра вращения и величина радиуса вращения точки при ее повороте вокруг горизонтали и фронтали?
  4. Как можно определить совмещенное с плоскостью π12) положение фронтального (горизонтального) следа плоскости без нахождения центра и радиуса вращения?
  5. Как перемещаются проекции точки при ее вращении вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции π12 ) ?
  6. Сколько параллельных перемещений и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок прямой общего положения в отрезок горизонтально (фронтально) проецирующей прямой?
  7. В чем состоит сущность преобразования ортогональных проекций способом замены плоскостей проекций?
  8. Сколько перемен плоскостей проекций и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок прямой общего положения в отрезок фронтально (горизонтально) проецирующей прямой?

* Более подробные сведения о перечисленных способах преобразования читатель найдет в книге С. А. Фролова "Методы преобразования ортогональных проекций". М.: Машиностроение, 1970.