что можно кушать перед колоноскопией кишечника . очищение кишечника . очищение кишечника от шлаков . очищение желудка и кишечника . эффективное очищение кишечника . очищение кишечника от паразитов

Классификация точек плоской кривой

Вид кривой l вблизи некоторой точки М с единственной касательной t зависит от характера движения точки вдоль касательной и направления: поворота касательной. Поясним это утверждение на примерах.

Пусть по кривой l движется точка М (рис. 104). Перемещение точки М00 ∈ l) в положение М11 ∈ l) можно рассматривать как движение точки по дуге кривой l в направлении, указанном зеленой стрелкой.

Проведем через точки М0 и М1 касательные к кривой l. Точку М0 можно рассматривать не только с позиции ее принадлежности к кривой l, но и как принадлежащую касательной t0. В этом случае перемещение точки М00 ∈ t0) в положение М1 (M1 ∈ t1 ) следует трактовать как движение точки по касательной в направлении, указанном зеленой стрелкой. Причем для того чтобы точка М0 ∈ t0 заняла положение M1 ∈ t1, необходимо, чтобы касательная t0 при переходе в положение t1 поворачивалась в направлении, указанном стрелкой.

При перемещении точки M1 в положение М2 направление ее движения вдоль кривой (касательной) по сравнению с участком М0М1 не меняется; не меняется и направление поворота касательной t1 .

Из рассмотрения рис. 104 видно, что характер движения точки по кривой l, выявленный для участков М0М1, М1М2, сохранится и на других участках М2М3, ... , Мn-1Мn. Все рассмотренные точки (М0, M1, М2, ... , Мn) кривой l и проведенные через них касательные (t0, t1, t2, ... , tn) обладают общим свойством: направление движения точки вдоль кривой (и касательной) и направление поворота касательной не меняются.

Такие точки и проведенные через них касательные к кривой называют соответственно: обыкновенной (регулярной) точкой и обыкновенной (регулярной) касательной. Кривую l, состоящую только из регулярных точек, называют плавной кривой. На рис. 105 изображена плавная кривая и указаны принадлежащая ей регулярная точка М и проведенные через нее касательная и нормаль к кривой l.

Если направление движения точки или поворота касательной меняется, то мы будем иметь дело с особой точкой и особой касательной.

На рис. 106 показана кривая l и указаны принадлежащие ей точки М0, M1, М, М2, М3 с проведенными через них касательными t0, t1,t, t2, t3. Мы видим, что ни в одной из указанных точек направление их движения вдоль кривой не меняется. Что касается направления вращения касательной, то оно меняется на противоположное в точке М. Такую точку называют точкой перегиба. В точках перегиба касательная меняет вместе с направлением вращения и сторону кривой. Две ветви кривой расположены по. разные Стороны от общей касательной t и по разные стороны от нормали n.

На рис. 107 показана кривая l с особой точкой М, которая называется точкой возврата первого рода или заостренной точкой. В точках возврата первого рода две ветви кривой располагаются по одну сторону от нормали и по разные стороны от касательной.

Рис. 108 дает представление о точке возврата второго рода*. Мы видим, что в точках возврата второго рода две ветви кривой расположены по одну сторону от общей для обеих ветвей касательной и по одну сторону от нормали. В точках возврата второго рода изменяется не только направление движения точки по кривой, но и направление вращения касательной.

Кроме отмеченных, к особым точкам кривой относятся:

а) угловая точка (рис. 109). В угловой точке (ее называют также точкой излома) направление кривой и касательной к ней изменяется "скачком", и поэтому кривая имеет в точке М две касательные и, соответственно, две различные нормали;

* Точку возврата второго рода называют также "клюв".

Рис 104-105.Классификация точек плоской кривой Рис 106-108.Классификация точек плоской кривой Рис 109-110.Классификация точек плоской кривойи

б) узел, или многократная точка (рис. 110). В узловой точке кривая пересекает саму себя. В зависимости от числа самопересечений узловые точки могут быть: двойными, тройными и т. д. На рис. 110,а и б показаны двойные, на рис. 110,в - тройная точка.