Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Действительно, пусть даны три пространственные кривые линии ᵭ1, ᵭ2 и ᵭ3(рис. 127). Возьмем на кривой ᵭ1 произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности α, а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой ᵭ3. Если N - точка пересечения дуги кривой ᵭ2 с поверхностью α, то (MN) пересечет дугу кривой ᵭ3 в точке L. То, что (MN) обязательно пересечет дугу кривой d3, не вызывает сомнения, так как (MN) и кривая d3 принадлежит одной и той же поверхности α. Из рис. 127 видно, что через точку М, взятую на направляющей ᵭ1, проходит одна прямолинейная образующая g, пересекающая две другие направляющие ᵭ2 и ᵭ3*. Задавая другое положение точки М → М1 и принимая точку М1 за вершину конической поверхности, мы получим при той же направляющей ᵭ3 отсек новой конической поверхности α1, которую дуга кривой ᵭ2 пересечет в точке N1 . Точки М1 и N1 определяют прямую (M1N1 ), которая пересечет третью направляющую ᵭ3 в точке L1. (М1L1) - новая образующая g1 линейчатой поверхности.

Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Следует иметь в виду, что нельзя за направляющие брать три различные по форме и произвольно расположенные линии. Произвольно можно задавать только две направляющие, форму и положение третьей направляющей выбирают так, чтобы она находилась внутри конгруенции** прямых, определяемой двумя уже взятыми направляющими.

Чтобы третья направляющая принадлежала линейчатой поверхности, она должна входить внутрь конгруенции, определяемой первыми двумя направляющими. Иными словами, задав дуги двух направляющих линей-

* Несмотря на то, что кривые ᵭ1, ᵭ2 и ᵭ3, показанные на рис. 127, будут кратными (через точку М проходит не одна, а n2 × n3 образующих, где n2 - порядок кривой ᵭ2, n3 - порядок кривой ᵭ3 ), мы рассматриваем случай, когда, линия d1 пересекает коническую поверхность α, заданную точкой М и направляющей ᵭ3, только один раз. Такое допущение возможно в том случае, если рассматривать не всю поверхность α, а только ее отсек, в формировании которого принимает участие не вся кривая ᵭ3, а только ее дуга Формула.

** Под конгруенцией прямых подразумевается множество прямых, зависящих от двух параметров. Например, если взять две произвольные кривые ᵭ1 и ᵭ2 (рис. 128) и на кривой ᵭ1, отметить точку М, приняв ее за вершину конической поверхности с направляющей ᵭ2, то мы получим множество прямых (образующих конической поверхности), проходящих через точку М ∈ d1, и одну из точек, принадлежащих множеству, определяющему линию ᵭ2. Если принять, что точка М будет перемещаться по кривой ᵭ1, последовательно занимая положения M1, М2, М3,..., Мn, то мы получим новые конические поверхности α1, α2, α3, ... , αn, прямолинейные образующие которых заполнят некоторый отсек пространства. Множество всех прямых - образующих конических поверхностей, за вершины которых взяты последовательно все точки одной линии ᵭ1(ᵭ2 ), а за направляющую принята вторая линия ᵭ2 (ᵭ1), является двупараметрическим множеством, т. е. конгруенцией.

Рис 127-128.Линейчатые поверхности

чатой поверхности, мы определяем область ее существования. На рис. 128 эта область ограничена линиями красного цвета. Очевидно, дуга кривой ᵭ3, ограниченная точками L и Ln будет принимать участие совместно с дугами кривых Формула в образовании линейчатой поверхности (Формула лежит внутри конгруенции). Кривая ᵭ4 может быть использована в качестве третьей направляющей только на участке Формула (т. е. в той части, которая лежит внутри конгруенции).

Кривая е, не погруженная в область конгруенции прямых, не будет принадлежать линейчатой поверхности и, следовательно, не может быть принята за третью направляющую*.

Теперь, после того как мы познакомились с требованием к заданию третьей направляющей линейчатой поверхности, можно перейти к рассмотрению различных групп этих поверхностей и, в частности, рассмотреть задание их на чертеже, а также возможности использования в технике.