Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма образующие должны быть параллельны. этой плоскости, поэтому они пересекаются с ней в несобственных точках, множество которых определяет несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности, т. е. плоскость параллелизма является как бы собственным представителем несобственной прямой. Образование линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма является частным случаем общего способа формирования линейчатой поверхности с двумя направляющими.

Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид

Ф(g; d₁, d₂, γ); [g_j ∩ { d₁, d₂,}≠ ∅ ∧ () = 0°)]

Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих d₁ и d₂ и положение плоскости параллелизма γ (табл. 5, рис. 140 ... 142).

* По имени бельгийского математика Каталана (Katalan), исследовавшего свои ства этих поверхностей.

Таблица 5. Линейчатые понерхноети с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Группа Б_II; Ф(g; d₁, d₂, γ); [g_j ∩ { d₁, d₂,}≠ ∅ ∧ () = 0°)]

1. Поверхность прямого цилиндроида (см. табл. 5, рис. 140). Поверхность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда направляющие d₁ и d₂ гладкие кривые линии, причем одна из них должна принадлежать плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма.

Для определения проекций прямолинейных образующих поверхности прямого цилиндроида достаточно провести прямые, параллельные плоскости параллелизма. На рис. 143 показано построение образующей g_j.

Вначале проводим g'_j-, определяем точки М' и N', по ним находим М" и N". (MN) проводим параллельно плоскости параллелизма γ; для этого достаточно, чтобы (М'N') || h_0γ.

Поверхность прямого цилиндроида находит применение в инженерной практике, в частности, она используется при изготовлении воздухопроводов большого диаметра.

2. Поверхность прямого коноида (см. табл. 5, рис. 141). Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая. Поэтому для задания поверхности коноида на эпюре Монжа необходимо указать проекции: кривой ᵭ₂ (одна направляющая), прямой d₁, (вторая направляющая) и плоскости параллелизма γ. Е1сли прямолинейная направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма, то мы будем иметь дело с частным случаем поверхности, которая называется прямым коноидом.

Для получения проекционного чертежа (эпюра Монжа), обладающего наглядностью, следует указать проекции не одной, а ряда прямолинейных образующих этой поверхности. Для этого проводим несколько прямых, параллельных плоскости параллелизма γ и пересекающих направляющие d₁ и d₂ . На рис. 144 показано построение произвольной образующей g_j. Чтобы прямая g_j была параллельна плоскости параллелизма γ, необходимо, чтобы она была параллельна прямой, принадлежащей плоскости γ. Так как плоскость γ горизонтально проецирующая, то горизонтальные проекции всех прямых, принадлежащих этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом плоскости h_0γ. Поэтому построение частной образующей поверхности коноида начинаем

с проведения ее горизонтальной проекции g'_j, причем g'_j || h_0γ (на основании инвариантного свойства 2г (см. § 6) ортогонального проецирования] . Отмечаем точки М' и N', в которых горизонтальная проекция образующей g'_j пересекает горизонтальные проекции направляющих d'₁ и d'₂, по М' и N' находим точки М" и N", которые определяют фронтальную проекцию прямой g'_j .

Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. Поверхность гиперболического параболоида - косая плоскость (см. табл. 5, рис. 142). Гиперболический параболоид может быть получен при скольжении прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время остается параллельной. плоскости параллелизма. Гиперболический параболоид имеет две плоскости параллелизма, соответствующие двум семействам прямолинейных направляющих. Если плоскости параллелизма перпендикулярны друг другу, то гиперболический параболоид называют прямым. В инженерной практике гиперболический параболоид часто называют косой плоскостью.

Для задания на чертеже косой плоскости достаточно указать проекции двух скрещивающихся прямых d₁, и d₂ и положение плоскости параллелизма γ. Для получения проекционного чертежа, обладающего наглядностью, обычно указывают проекции нескольких прямолинейных образующих, для этого:

1) на направляющих d₁ и d₂ выделяют отрезки |АВ| и |CD| ;

2) делят проекции отрезков |АВ| и |CD| на произвольное число равных частей (на рис. 145 проекции точек деления обозначены 1', ... , 6';1", ... , 6" и 1'₁, ... , 6'₁;1"₁, ... , 6"₁

3) одноименные проекции точек деления соединяют прямыми.

Задавая таким путем косую плоскость, мы не пользовались плоскостями параллелизма. Если требуется определить их положение, то достаточно через произвольную точку К провести прямые е и f, параллельные соответственно прямым d₂ и d₁ . Вторая плоскость паралле

лизма (для семейства направляющих g₁ и g₂ ) определяется пересекающимися прямыми l и m (l || g₁, m || g₂ ).

Косая плоскость находит широкое применение и инженерно-строительной практике для формирования поверхностей откосов насыпей железных и автомобильных дорог, набережных гидротехнических сооружений в местах сопряжения откосов, имеющих различные углы наклона.

4. Плоскость. Коли направляющие прямые d₁, и d₂ пересекаются или параллельны, то гтри движении по ним прямолинейной образующей g получается плоскость. Изображение плоскости на знюре Монжа и различные варианты ее расположения по отношению к плоскостям проекций были подробно рассмотрены в § 8 гл. I.