Аксонометрические проекции

Во многих случаях при выполнении технических чертежей оказывается необходимым наряду с изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь изображения более наглядные. Для построения таких изображений применяют проекции, называемые аксонометрическими или, сокращенно, аксонометрией. Название «аксонометрия» образовано из слов древнегреческого языка: аксон — ось и метрео — измеряю.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта система точек отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость 1). Следовательно, аксонометрическая проекция есть, прежде всего, проекция только на одной плоскости, а не на двух или более, как это имеет место в системе ортогональных проекций. При этом необходимо обеспечить наглядность изображений и возможность производить определения положений и размеров, как это изложено дальше.

На рис. 449 показана схема проецирования точки А на некоторую пл. α, принятую за плоскость аксонометрических проекций (называемую также картинной плоскостью). Направление проецирования указано стрелкой 2).

Рис 449.Аксонометрические проекции

Прямые Ox, Оу, Oz изображают оси координат в пространстве, прямые Оαх, ОαУ, Oαz — их проекции на пл. α, называемые аксонометрическими осями (или осями аксонометрических координат).

1) Аксонометрия может быть также центральной; здесь рассматривается параллельная аксонометрия.

2) Направление проецирования может составлять с плоскостью аксонометрических проекций некоторый острый или прямой угол. Для обеспечения наглядности изображений направление проецирования не следует брать параллельным ни одной из координатных плоскостей.

На осях х, у, z отложен некоторый отрезок длиной l, принимаемый за единицу измерения по этим осям (натуральная единица). Отрезки lx, ly, lz, на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка l; они вообще не равны l и не равны между собой. Отрезки lx, ly, lz являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами 1).

Отношения lxl, lyl, lzl называются коэффициентами искажения (или показателями искажения) по аксонометрическим осям.

Коэффициент искажения по оси Оαх обозначим k, по оси Оαу обозначим m, по оси Oαz обозначим n.

Трехзвенная пространственная линия ОАхА'А спроецировалась в плоскую ломаную линию ОαАхαА'αАα (рис. 449). Точка Аαаксонометрическая проекция точки А; точка А'α представляет собой аксонометрическую проекцию точки А', которая является одной из ортогональных проекций точки А, а именно на пл. π1 (хОу). Точку А'α называют вторичной проекцией точки А 2). Можно построить еще две вторичные проекции точки А, соответствующие двум другим ее ортогональным проекциям — на плоскостях π2- (xOz) и π3 (yOz).

Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков прямых линий, параллельных прямоугольным осям координат, и самими отрезками выражаются коэффициентами k, m, n.

Так как (см. рис. 449) А'АХ||Оу и А'А||Oz, то при параллельном проецирований А'αАхα||Оαу и А'αАα||Oαz. Отношение параллельных отрезков при параллельном проецировании сохраняется; следовательно, А'αА: ly = А'АХ:l или А'αАхα: А'Аx =ly:l = m, где m — коэффициент искажения по оси Оαу. Аналогичные заключения можно сделать и относительно отрезков,, расположенных параллельно осям х и z: отношения проекций таких отрезков к самим отрезкам равны (соответственно) коэффициентам искажения k и n.

Так, между аксонометрической проекцией АαВα отрезка АВ, параллельного оси х (рис. 450), и самим отрезком отношение равно АαВα: АВ = k.

Каждый из отрезков линии ОАхА'А (рис. 449) определяет одну из прямоугольных координат точки А; проекции этих отрезков — отрезки плоской ломаной линии ОαАхαА'αАα — определяют соответственно аксонометрические координаты той же точки А. Очевидно, при помощи коэффициентов искажения можно перейти от прямоугольных координат к аксонометрическим, и наоборот: хα= kx, уα = mу, zα = nz, где буквами хα, yα, za обозначены отрезки, определяющие аксонометрические координаты точки, а буквами х, у, z — отрезки, определяющие ее прямоугольные координаты.

На рис. 451 дан пример построения аксонометрической проекции точки по ее ортогональным проекциям.

Рис 450.Аксонометрические проекции

Точка Аα построена по координатным отрезкам, взятым с чертежа: х = ОАх, у = АxА', z = АxА". Учитывая коэффициенты искажения k, m и n, откладываем по оси 0αх отрезок OαАХα = k·ОАх, затем параллельно оси Оαу отрезок АА'α= m·АxА' и, наконец, параллельно оси Oαz отрезок А'αАα = n·АxА".

1) Применяются также названия «аксонометрические масштабы» и соответственно «натуральный масштаб».

2) Термин, примененный В. И. Курдюмовым в его труде «Курс начертательной геометрии».

Рис 451.Аксонометрические проекции Рис 452.Аксонометрические проекции Рис 453.Аксонометрические проекции

Плоскость β (рис. 452) изображена следами и в аксонометрической проекции. Для построения следов взяты точки их пересечения с осями по отрезкам на осях (например, точка Хβα построена по отрезку ОХβ:OαXβα = k·ОХβ).

Точка А, лежащая в пл. β, построена в аксонометрической проекции по ее координатам; горизонталь NαAα должна быть параллельна своей вторичной проекции и следу на плоскости хОαу. Точку Аα можно било построить и как точку пересечения двух каких-либо прямых в пл. β, построив аксонометрические проекции этих прямых.

На том же рис. 452 изображена в аксонометрической проекции фронтально-проецирующая плоскость и принадлежащая ей точка Вα. Как определить прямоугольные координаты этой точки? Построение показано на рис. 452 справа: в аксонометрической проекции проведена горизонталь NαBα и построена ее вторичная проекция, на которой получена вторичная проекция В'β Искомые координаты точки В:

Формула

где k, m, n — коэффициенты искажения.

При построении аксонометрических проекций обычно пользуются не самими коэффициентами искажения, а некоторыми величинами, им пропорциональными. Эти величины будем называть приведёнными 1) коэффициентами искажения.

Задаваясь приведенными коэффициентами, можно взять наибольший из них равным единице, что упрощает построения.

Если на пл. α взять произвольно четыре точки Оα, Аα, Вα и Сα, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и соединить их попарно прямыми, то получится фигура, называемая полным четырехугольником (OαAαBαCα); это четырехугольник с его диагоналями (рис. 453, а). Если, далее, через эти точки провести параллельные между собой прямые и взять на каждой из них по произвольной точке О, А, В и С так, чтобы все они не лежали в одной плоскости, то в пространстве образуется вообще некоторый тетраэдр ОABC 2). Очевидно, тетраэдров в пространстве, параллельной проекцией которых может служить полный четырехугольник OαAαBαCα, может быть бесконечное множество. В их числе содержится и тетраэдр с прямым трехгранным углом при точке О и с равными ребрами OA, OB, ОС; такой тетраэдр может рассматриваться как масштабный 3), т. е. три равных и взаимно перпендикулярных ребра этого тетраэдра служат масштабами осей координат в пространстве (рис. 453, в). Это составляет содержание основного предложения аксонометрии (или «основной теоремы аксонометрии»), приводимого в следующей формулировке: любой полный четырехугольник на плоскости всегда является параллельной проекцией некоторого масштабного тетраэдра. Поэтому любые три прямые, проходящие через одну точку на плоскости и не совпадающие между собой, могут быть приняты за аксонометрические оси, т. е. за проекции осей прямоугольных координат, и любые три отрезка, отложенные на этих прямых от точки их пересечения, могут быть взяты в соответствии с выбранным соотношением приведенных коэффициентов искажения в качестве аксонометрических единиц4).

1) Название «приведенный» по отношению к коэффициентам (показателям) искажения применено Н. Ф. Четверухиным и Е. А. Глазуновым в их труде «Аксонометрия» (М.: Гостехиздат, 1953).

2) Тетраэдр — в данном случае треугольная пирамида произвольной формы.

3) Термин «масштабный тетраэдр» применен Н. Ф. Четверухиным.

4) «Основное предложение аксонометрии» было сформулировано К. Польке (в 1851 г.) в виде следующей теоремы: любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве. В шестидесятых годах прошлого столетия Г. Шварц обобщил теорему Польке, доказав, что любой полный четырехугольник на плоскости всегда можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра, подобного любому заданному. Интересующихся доказательством отсылаем к книге Е. А. Глазунова и Н. Ф. Четверухина, указанной в сноске 1), или к книге Н. А. Глаголева «Начертательная геометрия» (М.: Гостехиздат, 1953).

Если все три коэффициента искажения равны между собой (k = m = m), то аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой только два коэффициента искажения (например, k = n, но m не равна k, или k = m, но n не равно k), то проекция называется диметрической; наконец, если k≠m, k≠n, m≠n , то проекция называется триметрической 1).

Если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости α, то аксонометрическая проекция носит название косоугольной. В противном случае аксонометрическая проекция называется прямоугольной.

Для сравнения представим себе сферу в прямоугольной и косоугольной аксонометрических проекциях. В первом случае образующие цилиндрической проецирующей поверхности, обертывающей шар, перпендикулярны к плоскости аксонометрических проекций; а так как проецирующий цилиндр является цилиндром вращения, то прямоугольная аксонометрическая проекция сферы есть окружность.

В случае же косоугольной проекции в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью аксонометрических проекций получается эллипс; в косоугольной аксонометрической проекции изображение сферы теряет в своей наглядности.

В практике построения наглядных изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и коэффициентов искажения (или приведенных коэффициентов искажения).

  • Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями

    1. Возьмем плоскость аксонометрических проекций таким образом, чтобы она пересекала все три координатные оси (рис. 454, слева) в точках X, Y, Z.

    Подробнее
  • Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности

    1. Начнем с общей задачи — построить прямоугольную аксонометрическую проекцию окружности, расположенной в некоторой плоскости общего положения β.

    Подробнее
  • Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях

    Ниже приведены некоторые примеры построений в прямоугольных изометрической и диметрической проекциях.

    Подробнее
  • Некоторые косоугольные аксонометрические проекции

    Из числа косоугольных аксонометрических проекций остановимся прежде всего на часто применяемой проекции, получаемой на плоскости, параллельной пл. π2.

    Подробнее
  • О родственном соответствии и его применении к решению некоторых задач

    Рассмотрим родственное соответствие фигур, расположенных в двух пересекающихся плоскостях или в одной плоскости, в системе параллельного проецирования.

    Подробнее
  • Стандартные аксонометрические проекции

    В инженерной практике, в частности в машиностроении, наибольшее распространение получили прямоугольные диметрические и изометрические проекции. Отметим некоторые свойства этих проекций.

    Подробнее
  • Примеры построения аксонометрических проекций геометрических фигур

    При построении аксонометрических проекций пользоваться коэффициентами искажения неудобно.

    Подробнее
  • Решение позиционных задач на аксонометрических проекциях

    Решение позиционных задач на аксонометрическом чертеже не отличается от решения этих задач в ортогональных проекциях на эпюре Монжа.

    Подробнее
  • Решение метрических задач на аксонометрических проекциях

    Между ортогональными и аксонометрическими проекциями существует зависимость, которая позволяет по ортогональным проекциям геометрической фигуры и заданному направлению аксонометрического проецирования построить треугольник следов и, наоборот, по заданной проекции треугольника следов определить направление аксоно-метрического проецирования.

    Подробнее