Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями

1. Возьмем плоскость аксонометрических проекций таким образом, чтобы она пересекала все три координатные оси (рис. 454, слева) в точках X, Y, Z. В случае прямоугольных аксонометрических проекций отрезок OOα, перпендикулярен к плоскости α. Отрезки ОαХ, ОαY, OαZ (аксонометрические проекции отрезков на осях) представляют собой катеты прямоугольных треугольников, а сами отрезки на осях координат — гипотенузы. Отсюда OαX: ОХ = cosφ, OαY: ОY= cosσ, 0αZ :0Z =cosγ. Но эти отношения представляют собой коэффициенты искажения k, m и m. Следовательно, k = cosφ, m = cosσ, n = cosγ. Для отрезка OOα косинусы углов φ11 и γ1 (рис. 454, справа) дополнительных к углам φ,σ и γ являются направляющими

Рис 454-455.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

косинусами. Поэтому cos2φ1 + cos2σ1 + cos2γ1 = 1 2), а так как φ = π/2 — φ1 и т. д., то sin2φ + sin2σ + sin2γ = 1, т. е. 1 — cos2φ + 1 — cos2σ + 1 — cos2γ = 1, откуда

1) Древнегреческое «isos» — одинаковый; изометрическая проекция — проекция одинаковых коэффициентов искажения по всем трем осям; «di» — двойной; диметрическая проекция — проекция одинаковых коэффициентов искажения только по двум осям; «treis» — три; триметрическая проекция — проекция разных коэффициентов искажения по всем трем осям.

2) Напомним вывод этого соотношения (рис. 454, справа): ОК2 = ОХ2 + 0Y2 + 0Z2; но ОХ = ОК·сosφ1, 0У = OK·cosσ и OZ = OK·cosγ1 откуда OK2 = OK2 cos2φ1 + OK1cos2σ1 + OK2cos2γ1 и (после сокращения на OK2) 1 = cos2φ1 + cos2σ1 + cos2γ1>.

cos2φ + cos2σ + cos2γ = 2. Следовательно, k2 + m2 + n2 = 2, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум.

2. Изометрическая проекция 1). Так как k = m = m, то 3k2 = 2, откуда

Формула

Это значит, что в прямоугольной изометрической проекции получается по каждой из осей (или по прямым, направленным параллельно этим осям) сокращение ≈0,82.

3. Диметрическая проекция. Два коэффициента искажения равны между собой,

а третий им не равен. Если взять k = n и выбрать m = 1/2k, то получим

Формула

Следовательно, в прямоугольной диметрической проекции по двум осям (в данном случае по осям Оαх и Oαz) или по прямым, параллельным этим осям, получается сокращение ≈0,94, а по третьей оси (в данном случае по оси Оαу) — сокращение ≈0,47.

4. Плоскость аксонометрических проекций, пересекая плоскости координат, образует треугольник, называемый треугольником следов.

Докажем, что в прямоугольных аксонометрических проекциях аксонометрические оси являются высотами треугольника следов.

Действительно (рис. 455), если OOα⊥α, то OK⊥XУ и по теореме о трех перпендикулярах ZK⊥XY. Аналогично, ХМ⊥YZ. Точка Оα является точкой пересечения высот (ортоцентром) треугольника следов.

Далее, в прямоугольных аксонометрических проекциях треугольник следов является остроугольным.

Действительно, в этом случае ортоцентр расположен внутри этого треугольника, а такое положение ортоцентра бывает только в остроугольном треугольнике.

Из этого вытекает, что углы XOαZ, ХОαY и YOαZ — тупые. Действительно, так как треугольник следов остроугольный, то угол между высотами дополняет острый угол до 180°, например, ∠МОαК = 180°— ∠ХОαК; но ∠ХОαК — острый, следовательно, ∠МОαК — тупой.

Но из этого не следует, что в прямоугольной аксонометрической проекции можно применять лишь такую схему расположения осей, какая указана, например, на рис. 456, а. Пусть ось х продолжена за точку Оα вправо вверх и ось у продолжена за точку Оα влево вверх. В таком случае угол между продленными осяМи х и у останется тупым, но углы, образованные ими с осью z, окажутся острыми. Однако нетрудно установить, что в прямоугольной аксонометрической проекции выбор осей все же ограничен, а именно необходимо, чтобы тупой угол между двумя осями

1) Термин «изометрические проекции» был впервые предложен в 1820 г. в докладах Фейрича (William Farich), прочитанных в Кембридже (Англия). В этих докладах Фейрич изложил теорию изометрических проекций; он же применил эти проекции в технике и широко их популяризировал. На русском языке сведения о прямоугольной изометрической проекции были впервые изложены в статье профессора Петербургского института инженеров путей сообщения А. X. Редера (1809 — 1872) в 1855 г. Более углубленное изложение вопроса об изометрической проекции как частном случае прямоугольных аксонометрических проекций дал Н. И. М а к а р о в, а затем В. И. Курдюмов, вообще посвятивший аксонометрическим проекциям ряд работ. В. И. Курдюмов предложил применять специальную бумагу с нанесенной на ней сеткой прямых линий, соответствующих направлениям осей в изометрической проекции. Мысль о такой бумаге для выполнения на ней эскизов в изометрической проекции была подсказана В. И. Курдюмову его практической инженерной работой.

разделялся продолжением третьей оси, а острый угол между двумя осями не мог быть разделен продолжением третьей оси.

5. Положим, что заданы оси для прямоугольной аксонометрической проекции (рис. 456, а). Требуется определить коэффициенты искажения для данного расположения осей.

Прежде всего построим некоторый треугольник, в котором высоты направлены соответственно параллельно данным осям (рис. 456,6). Этот треугольник

Рис 456.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

играет роль треугольника следов. Угол ХОαY получен как проекция прямого угла между осями х и у в пространстве. Совместим в плоскости чертежа оба угла: ∠XOαY и ∠XOY, повернув ∠XOY вокруг прямой ХУ до совмещения с пл. α (рис. 456, в). На рис. 456,6 показано, что, разделив XY точкой С1 пополам и проведя полуокружность из этой точки радиусом С1Х, мы можем спроецировать точку Оα по перпендикуляру к XY на полуокружность. Точка O1 является вершиной прямого угла между осями х и у в пространстве после поворота.

Теперь искомые коэффициенты искажения определяются из соотношений ОαХ : O1X = k и OαY: O1Y = m. Для определения коэффициента п можно применить формулу k2 + m2 + n2 = 2 или построить полуокружность на XZ, как на диаметре, и взять отношение ОαХ : О2Х = n.

6. Выше (с. 239) были выведены значения коэффициентов искажения для прямоугольных изометрической и диметрической проекций. По этим значениям коэффициентов искажения можно определить величины углов между осями для этих прямоугольных аксонометрических проекций из треугольников следов 1).

Изометрическая проекция (рис. 457). Мы рассматриваем прямоугольную проекцию; следовательно, прямая ООα перпендикулярна к плоскости, в которой расположен треугольник следов.

Коэффициенты искажения в изометрической проекции равны между собой: k = m = n; следовательно, cosφ = cosσ = cosγ и φ = σ = γ (углы острые).

Из этого следует, что треугольник следов для изометрической проекции равносторонний. А из этого вытекает, что в треугольнике следов каждый из углов XOαZ, XOαY, YOαZ равен 120°.

Итак, для изометрической проекции получается расположение осей, указанное на рис. 457 справа.

1) Точнее, из треугольников, подобных треугольникам следов. Построение осей в прямоугольной аксонометрической проекции по заданным коэффициентам искажения вообще можно производить на основании теоремы Вейсбаха: «В прямоугольной аксонометрической проекции аксонометрические оси являются биссектрисами углов треугольника, стороны которого пропорциональны квадратам коэффициентов искажения». Интересующихся доказательством отсылаем к книге, указанной в сноске на с. 237.

Плоскость изометрических проекций, пересекающая положительные полуоси х, у, z изобразится в системе ортогональных проекций, как это показано на рис. 458, а. Эта плоскость образует с каждой из координатных плоскостей угол &φ1 ≈55°, точнее, 54°45'.

Очевидно, плоскости, расположенные подобно указанным на рис. 458, в, и лежащие в них фигуры изобразятся в изометрической проекции в виде прямой линии.

Рис 457.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями Рис 458.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

Диметрическая проекция. Здесь два из трех коэффициентов искажения равны между собой; мы будем рассматривать случай, когда k = n, k = 2m. В этом случаеугол между аксонометрическими осями Oαz и Оαу должен быть равен 131 °25', а ось0αх составляет с перпендикуляром к оси 0αz угол 7° 10'.

Докажем это. Пусть k = n и, следовательно, φ = γ и ОХ = OZ (рис. 457, слева). Принимая отрезок ОХ за единицу, получим XZ = √2. Рассматривая диметрическую проекцию, в которои k = n2√23 и m = √23, мы можем написать

Формула

Так как ОХ = OZ, то XY = ZY, т.е. треугольник XYZ в данном случае равнобедренный.

В этом треугольнике (рис. 459) высота YK делит пополам сторону XZ, т.е.

Формула

Из рассмотрения прямоугольного треугольника OαKZ следует

Формула

Угол φ≈48°35'; 2φ = 97°10'. Из рисунка видно, что ∠S0αX≈7°10', так как OαS⊥0αZ.

Далее замечаем, что

Формула

Итак, мы получили указанное на рис. 459 справа расположение осей для диметрической проекции, у которой коэффициенты искажения составляют отношение 1 :0,5 : 1.

Можно построить ось Oαх, приняв tg7°10' равным 1/8, и ось Оαу, приняв tg41 °25' равным 7/8. Ось Оαу может быть проведена и другим способом — как продолжение биссектрисы угла zOαx (см. рис. 459, слева). Это предпочтительно. Рис 459.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями Рис 460.Прямоугольные аксонометрические проекции.Коэффициенты искажения и углы между осями

Если плоскость рассматриваемой нами диметрической проекции, пересекающую положительные полуоси х, у, z, изобразить в системе ортогональных проекций, то получится чертеж, показанный на рис, 460,a, причем угол μ≈20°40' (О Уα:ОХα = tgμ ≈ 0,377).

Итак, если плоскость диметрической проекции изображаете» в системе ортогональных проекций, то надо (см. рис. 460,а) отложить OZα = ОXα и ОYα ≈0,377·OXα, или, округленно, 0,4·ОХα.

Очевидно, плоскости, расположенные подобно указанным на рис. 460,а, и лежащие в них фигуры изобразятся в диметрической проекции в виде прямой линии.

Отрезки, расположенные параллельно координатным осям в пространстве, претерпевают при аксонометрическом проецировании сокращение, выражаемое соответствующими коэффициентами искажения. Но в числе отрезков, расположенных в пространстве, имеются такие, размер которых не изменяется в аксонометрической их проекции. Это отрезки, расположенные в пространстве параллельно какой-либо из сторон треугольника следов. Действительно, каждый отрезок, расположенный, например, параллельно следу XY (рис. 457, слева), и в том числе сам отрезок XY сохраняет свою величину и в аксонометрической проекции. Но в прямоугольной аксонометрической проекции эти отрезки получаются расположенными перпендикулярно к аксонометрическим осям, как прямые, параллельные сторонам треугольника следов.

Мы ограничимся рассмотрением указанных двух аксонометрических прямоугольных проекций — изометрической и диметрической с соотношением коэффициентов искажения 1:0,5:1 и с осями, расположенными так, как это указано на рис. 459. В дальнейшем, применяя название изометрическая и диметрическая проекции, мы будем иметь в виду именно пи разобранные нами прямоугольные аксонометрические проекции.

В практике построения указанных проекций допускают следующие отступления :

1) в изометрической проекции по большей части не применяют коэффициентов искажения Формула, заменяя их приведенными коэффициентами, равными единице;

2) в диметрической проекции обычно не применяют коэффициентов искажения Формула, а берут вместо них приведенные коэффициенты соответственно 1 и 0,5.

Замена значений натуральных коэффициентов искажения более удобными числами (приведенными коэффициентами искажения) представляет значительные удобства при практических построениях. Получающееся при этом некоторое увеличение изображений, менее заметное в диметрической проекции, чем в изометрической, может оказаться неприемлемым лишь в особых случаях построений; тогда должны быть применены натуральные коэффициенты искажения.

Удлинение отрезков в изометрической проекции, построенной по приведенным коэффициентам искажения, выражается отношением Формула а в диметрической проекции — отношением Формула

Например, отрезки, параллельные в пространстве сторонам треугольника следов и, следовательно, откладываемые в аксонометрической проекции по направлениям, перпендикулярным к аксонометрическим осям, удлиняются в изометрической проекции в 1,22 раза по сравнению с натуральной величиной, а в диметрической проекции — в 1,06 раза.