Поверхность

Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью плоскости, до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся точному математическому описанию.

Без преувеличения можно сказать, что по разнообразию форм и свойств, по своему значению при формировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют в науке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют себе равных среди других геометрических фигур.

Естественно, что начертательная геометрия как наука, передающая результаты своих теоретических исследований в распоряжение инженера для их практического использования, не может обойти вниманием такие важные геометрические фигуры, какими являются поверхности.

ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая в декартовой системе координат уравнением вида F (х, у, z) = 0, где F (х, у, г) - многочлен n-й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором - трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается n-го порядка. Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких, как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движу-щейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное дву параметрическое множество точек.

  • Образование поверхности и ее задание на эпюре Монжа

    Ранее отмечалось, что поверхность можно рассматривать как совокупность последовательных положений некоторой линии gj, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

    Подробнее
  • Определитель поверхности

    Поверхность с позиции кинематического способа ее образования рассматривают как множество всех положений движущейся линии (или поверхности).

    Подробнее
  • Ортогональные проекции поверхности

    Вы уже знаете, что две ортогональные проекции на две непараллельные плоскости однозначно определяют положение точки и положение и вид линии. Переходя к рассмотрению ортогональных проек-

    Подробнее
  • Классификация поверхностей

    Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучении. Для того чтобы облегчить процесс изучения поверхностей, целесообразно осуществить их систематизацию, распределив все поверхности по классам, подклассам, группам и подгруппам.

    Подробнее
  • Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

    Эта группа поверхностей имеет единый по форме определитель

    Ф (g̃1, ... ,g̃n;ᵭ1,ᵭ2,ᵭ3); [ {̃g1, ... ,̃gn } ∩ { ᵭ1, ᵭ2, ᵭ3 } ≠ ∅]*,

    Подробнее
  • Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

    Определитель таких поверхностей имеет вид

    Ф (g̃; ᵭ1, ᵭ2, ᵭ3); [g̃ j ∩ { ᵭ1, ᵭ2, ᵭ3} ≠ ∅],

    Подробнее
  • Линейчатые поверхности

    Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями.

    Подробнее
  • Линейчатые поверхности с тремя направляющими

    Классификация линейчатых поверхностей и их распределение по группам и подгруппам в рамках общей схемы классификации поверхностей (см. рис. 121) в зависимости от вида определителя, содержащего информацию о числе направляющих, показаны на рис. 129.

    Подробнее
  • Линейчатые поверхности с двумя направляющими

    Движение прямой - образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности.

    Подробнее
  • Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

    При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма образующие должны быть параллельны.

    Подробнее
  • Линейчатые поверхности с одной направляющей - торсы

    Рассматриваемая в этом параграфе группа линейчатых поверхностей с одной криволинейной направляющей называется торсами, а криволинейная направляющая таких поверхностей - ребром возврата *.

    Подробнее
  • Поверхности параллельного переноса

    Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным перемещением плоской линии, при этом образующие поверхности все время остаются параллельными между собой.

    Подробнее
  • Поверхности вращения

    А. Поверхности вращения общего вида (рис. 157).

    Подробнее
  • Винтовые поверхности

    Поверхность наэывается винтовой, если она получается винтовым перемещением образующей (рис. 163) **.

    Подробнее